磁気・電磁力37【電験3種 理論】三角形ループがソレノイド磁界に侵入するときの誘導電圧の波形！平成27年 A問題5 完全解説

今回は平成27年度 理論科目 A問題5を解説します。三角形ループがソレノイドの磁界（磁束密度B）に一定速度uで侵入するとき、抵抗器に加わる誘導電圧e(t)の波形を選ぶ問題です。

頂点Pから侵入するので、磁界内に入るループの面積は時間の2乗に比例して増えます。よってe＝−dΦ/dtは時間に比例（直線的に増加）し、ループ全体が入る時刻T+w/uで最大となり、その後は0になります。

出題のポイント

平成27年度 理論科目 A問題5：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（磁気・電磁力）】 平成27年度 A問題5

　十分長いソレノイド及び小さい三角形のループがある。図1はソレノイドの横断面を示しており、三角形ループも同じ面内にある。図2はその破線部分の拡大図である。面x＝0から右側の領域（x＞0の領域）は直流電流を流したソレノイドの内側であり、そこには+z方向の平等磁界が存在するとする。その磁束密度をB〔T〕（B＞0）とする。左側領域（x＜0）はソレノイドの外側であり磁界は零であるとする。三角形PQRの抵抗器付き導体ループがxy平面内を等速度u〔m/s〕で+x方向に進み、ソレノイドの巻線の隙間から内側に侵入していく。その際、導体ループの辺QRはy軸と平行を保っている。頂点Pが面x＝0を通過する時刻をT〔s〕とする。また、抵抗器の抵抗r〔Ω〕は十分大きいものとする。辺QRの中央の抵抗器に時刻t〔s〕に加わる誘導電圧をe(t)〔V〕とし、その符号は図中の矢印の向きを正と定義する。三角形ループがソレノイドの外側から内側に入り込むときのe(t)を示す図として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

三角形ループがソレノイドの外側から内側に入り込むときの誘導電圧e(t)を示す図として、最も近いものを図中の(1)〜(5)のうちから一つ選べ（e(t)の符号は図中の矢印の向きを正とする）。

ポイント解説：侵入面積は時間の2乗→e＝−dΦ/dtは時間に比例

三角形ループは頂点Pから磁界内に入るので、磁界内に入る面積は時間の2乗に比例して増えます（似た三角形の面積）。

鎖交磁束Φ＝B×面積も(t−T)²に比例するので、誘導電圧e＝−dΦ/dtは(t−T)に比例（直線的に増加）します。

問題の解説

STEP1　磁界内の面積を考える

頂点Pがx＝0を通過（t＝T）してから、磁界内の面積は相似な三角形として増え、$$\text{面積}=\frac{d}{2w}\{u(t-T)\}^2\;\propto\;(t-T)^2$$

STEP2　誘導電圧を求める

$$e=-\frac{d\Phi}{dt}=-B\frac{d(\text{面積})}{dt}=-\frac{Bd u^2}{w}(t-T)$$e はt＝Tで0、t＝T+w/uで−Bu·d（＝−Bud）まで直線的に大きくなります。

STEP3　波形を選ぶ

ループ全体が入る時刻T+w/u以降は磁束が一定になりe＝0。よって、t＝Tから直線的に−Budまで下がり、その後0に戻る波形＝(5)です。

答え：(5)（0から−Budへ直線的に変化し、その後0）

まとめ

侵入面積	∝(t−T)2
誘導電圧	e∝(t−T)（直線）
最大	t＝T+w/uで−Bud
波形／答	0→−Bud→0、答(5)

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