磁気・電磁力33【電験3種理論】半円形の導線が中心につくる磁界をビオ・サバールの法則で求める！平成28年 A問題3 完全解説

2026年7月12日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（磁気・電磁力）平成28年度 A問題3 半円の導線が中心につくる磁界！円の半分で何A/m？

今回は平成28年度理論科目 A問題3を解説します。長い線状導体の一部が点Pを中心とする半径rの半円形になっているとき、電流Iを流したときに点Pに生じる磁界の大きさH〔A/m〕をビオ・サバールの法則で求める問題です。

点Pを通る直線部分は、電流要素dℓと点Pへの位置ベクトルRが平行でdℓ×R＝0となるため寄与しません。半円部分は中心角θ＝π radなので、円弧の公式H＝Iθ/(4πr)からH＝I/(4r)となります。

平成28年度理論科目 A問題3：問題文と選択肢

まずは、平成28年度に実際に出題された問題文と選択肢を確認しましょう。

電験3種理論科目磁気・電磁力平成28年度 A問題3 問題文 — 平成28年度理論科目 A問題3 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成28年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題3

電験3種理論科目【電磁気（磁気・電磁力）】平成28年度 A問題3

　図のように、長い線状導体の一部が点Pを中心とする半径r〔m〕の半円形になっている。この導体に電流I〔A〕を流すとき、点Pに生じる磁界の大きさH〔A/m〕はビオ・サバールの法則より求めることができる。Hを表す式として正しいものを、次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

点Pに生じる磁界の大きさHを表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）I/(2πr)　（2）I/(4r)　（3）I/(πr)　（4）I/(2r)　（5）I/r

出題のポイント：直線部分は「寄与ゼロ」、残るのは半円だけ

一見すると直線と半円の合成で面倒に見えますが、直線部分の寄与はきれいにゼロになります。実質は「半円だけの問題」です。

ビオ・サバールの法則

$$d\boldsymbol{H}=\frac{I\,d\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{R}}{4\pi R^{3}}$$

※外積 $d\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{R}$ がポイント。電流の向きと、その点へ向かうベクトルが平行なら外積はゼロ——つまり磁界に寄与しません。

点Pを通る直線部分と半円形導線について磁界の寄与とI毎4rを示す図 — 直線部分の寄与は0、中心角πの半円部分はH＝I/(4r)で、正答は(2)です。

なぜ直線部分は寄与しないのか

直線部分は点Pを通る同一直線上にあります。したがって電流要素 $d\boldsymbol{l}$ の向きと、そこから点Pへ向かうベクトル $\boldsymbol{R}$ が平行（または反平行）です。

$$d\boldsymbol{l}\parallel\boldsymbol{R}\;\Longrightarrow\;d\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{R}=0$$

❶ 外積がゼロ
平行なベクトルの外積は必ず0

$$\therefore\;d\boldsymbol{H}=0$$

❷ 磁界への寄与もゼロ
直線部分は何本あっても関係ない

「導体が長い」と書いてあっても惑わされないでください。長さがいくらであっても、点Pから見て真横（同一直線上）にある電流は磁界を作りません。

💡 覚え方
右ねじで考えても同じ結論になります。直線電流のまわりの磁界は電流を軸とする同心円なので、軸上（＝電流の延長線上）では磁界がゼロです。点Pはまさにその軸上にあります。

半円部分の磁界：円弧の公式を使う

半径 $r$、中心角 $\theta$〔rad〕の円弧が中心につくる磁界は次の式で表せます。

円弧が中心につくる磁界

$$H=\frac{I\theta}{4\pi r}\qquad\left(=\frac{I}{2r}\times\frac{\theta}{2\pi}\right)$$

※「全円 $I/2r$ の $\theta/2\pi$ 倍」と読むと覚えやすいです。全円の何割ぶんの弧か、という素直な比例配分です。

$$\theta=\pi\;\mathrm{rad}$$

❶ 半円の中心角
180°＝$\pi$ rad

$$H=\frac{I\pi}{4\pi r}=\frac{I}{4r}$$

❷ 代入して $\pi$ が約分
$\pi$ が消えるのが半円の特徴

円形コイル1周なら $I/2r$、その半分だから $I/4r$——この理解で十分です。答えに $\pi$ が残らないことも、選択肢を絞るヒントになります。

直線部と半円部の磁界を別々に求めて重ね合わせる3段階の解説図 — ビオ・サバールの法則で直線部0、半円部I/(4r)となります。

答え$H=\dfrac{I}{4r}$〔A/m〕　→　選択肢(2)

平成28年度理論問3のビオサバール積分と選択肢2を示す解答図 — 積分範囲0からπよりH＝I/(4r) A/mとなり、公式正答は(2)です。

誤答の正体：3つの公式のどれを使うか

公式	式	どんな配置か	選択肢
無限長直線	$H=\dfrac{I}{2\pi r}$	まっすぐな電流から距離 $r$ の点	(1)
半円（本問）	$H=\dfrac{I}{4r}$	中心角 $\pi$ の円弧の中心	(2) ◎正解
$2/\pi$ 倍の誤り	$H=\dfrac{I}{\pi r}$	—	(3)
円形コイル1周	$H=\dfrac{I}{2r}$	円の中心	(4)
—	$H=\dfrac{I}{r}$	—	(5)

(1)と(4)が主要な罠です。(1)は「直線が長いから」と無限長直線の公式を使ってしまう誤り、(4)は「半分」を忘れて円形コイルの公式をそのまま使う誤りです。

⚠️ よくある間違い
$\pi$ が残るかどうかで公式が見分けられます。直線の公式には $\pi$ が残り（$2\pi r$）、円弧・円の公式では $\pi$ が約分されて消えます。答えの形を見た瞬間に、どちらの公式を使ったかが分かります。

3つの公式を1つの発想でつなぐ

すべてビオ・サバールの法則から出てきます。円のときだけ計算が簡単になる理由も、外積で説明できます。

	$d\boldsymbol{l}$ と $\boldsymbol{R}$ の関係	結果
円弧の中心	常に垂直（半径と接線）	$\sin\theta=1$ で計算が最も簡単
直線の延長上	常に平行	寄与ゼロ
直線の側方	場所により角度が変わる	積分が必要 → $I/2\pi r$

本問は「常に垂直（半円）」と「常に平行（直線）」という、両極端だけで構成されています。だから積分せずに答えが出るのです。出題者が計算しやすいように配置を選んでいると気づけば、方針で迷いません。

⏱️ 本番での進め方
❶ まず直線部分を切り捨てる。点Pと同一直線上なら寄与ゼロ。図を見た瞬間に消す。
❷ 円弧は「全円の何割か」で考える。半円なら $I/2r$ の半分で $I/4r$。
❸ $\pi$ の有無で検算する。円弧なら $\pi$ は消える。残っていたら直線の公式を使っている。
❹ 1/4円なら $I/8r$。中心角に比例するので、どんな角度でも同じ考え方で出せる。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。