電気及び電子計測14【電験3種理論】ブリッジ回路で求めた未知抵抗の誤差率を計算する！令和3年度 A問題14 完全解説

2026年7月15日2026年8月9日

電験3種理論科目電気及び電子計測令和3年度 A問題14 ブリッジ回路の測定値！誤差率は何%になる？

今回は令和3年度理論科目 A問題14を解説します。ブリッジ回路で未知抵抗R_xを平衡条件から求めるとき、既知抵抗R₁・R₂・R₃に誤差があると、R_xにどれだけ誤差が伝わるかを求める問題です。

ブリッジの平衡条件から R_x＝R₁R₃/R₂。各抵抗が小さな誤差率εをもつとき、掛け算・割り算の誤差はほぼ「足し引き」で伝わる、というのがポイントです。

令和3年度理論科目 A問題14：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目電気及び電子計測令和3年度 A問題14 問題文 — 令和3年度理論科目 A問題14 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和3年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題14

電験3種理論科目【電気及び電子計測】令和3年度 A問題14

　図のブリッジ回路を用いて、未知の抵抗の値R_x[Ω]を推定したい。可変抵抗R₃を調整して、検流計に電流が流れない状態を探し、平衡条件を満足するR_x[Ω]の値を求める。求めた値が真値と異なる原因が、R_k（k=1,2,3）の真値からの誤差ΔR_kのみである場合を考え、それらの誤差率ε_k=ΔR_k/R_kが ε₁=0.01、ε₂=−0.01、ε₃=0.02であったとき、R_xの誤差率を求める。

R_xの誤差率として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。（ε₁=0.01、ε₂=−0.01、ε₃=0.02）

（1）0.0001　（2）0.01　（3）0.02　（4）0.03　（5）0.04

図　未知抵抗R_xを測るブリッジ回路（R1・R2・可変抵抗R3・検流計）（問題図）

出題のポイント：掛け算なら足す、割り算なら引く

誤差率の合成には、非常に便利な法則があります——「掛け算の項は誤差率を足し、割り算の項は引く」。微小量の一次近似から出てくる関係です。

ブリッジの平衡条件が $R_x=R_1R_3/R_2$ なら、$\varepsilon_x=\varepsilon_1+\varepsilon_3-\varepsilon_2$。本問は $0.01+0.02-(-0.01)=0.04$ です。

誤差率の合成則

$$R_x=\frac{R_1R_3}{R_2}\ \Rightarrow\ \varepsilon_x\fallingdotseq\varepsilon_1+\varepsilon_3-\varepsilon_2$$

※分子にある量は「＋」、分母にある量は「−」。誤差が小さいときだけ成り立つ一次近似です。

解説：符号に気をつけて足し引きするだけ

$$R_x=\frac{R_1R_3}{R_2}$$

❶ ブリッジの平衡条件
検流計に電流が流れない条件

$$\varepsilon_x\fallingdotseq\varepsilon_1+\varepsilon_3-\varepsilon_2$$

❷ 誤差率の合成
分子は＋、分母は−

$$=0.01+0.02-(-0.01)$$

❸ 数値を入れる
$\varepsilon_2$ が負なので引くと足される

$$=0.04$$

❹ 答え

答え$\varepsilon_x=0.04$　→　選択肢(5)

$\varepsilon_2=-0.01$ を「引く」ので、実際には足される——マイナスのマイナスでプラスです。ここで符号を落とすと 0.02 になり(3)に落ちます。

別解：実際に値を入れて確かめる

$$R_x’=\frac{(1.01R_1)(1.02R_3)}{0.99R_2}$$

❶ 誤差を含んだ値
各抵抗を $(1+\varepsilon)$ 倍

$$=\frac{1.01\times1.02}{0.99}\times\frac{R_1R_3}{R_2}=1.0406\,R_x$$

❷ 係数を計算

$$\varepsilon_x=1.0406-1=0.0406\fallingdotseq0.04$$

❸ 誤差率
近似式と一致

厳密に計算しても 0.0406——一次近似の 0.04 とほぼ同じです。誤差が数 %程度なら、足し引きの近似で十分だと確かめられます。

時間があればこの検算をすると安心です。電卓を使えば30秒で、符号の取り違えも同時にチェックできます。

誤答の正体：符号ひとつで 0.02 と 0.04 に分かれる

選択肢	値	どう計算すると出るか
(1)	0.0001	誤差率を掛け合わせた（$0.01\times0.01$）
(2)	0.01	$\varepsilon_1$ だけを答えた
(3)	0.02	★$\varepsilon_1+\varepsilon_3+\varepsilon_2$——$\varepsilon_2$ を足してしまった
(4)	0.03	$\varepsilon_1+\varepsilon_3$——$\varepsilon_2$ を無視した
(5)	0.04	◎ $\varepsilon_1+\varepsilon_3-\varepsilon_2$

(3)(4)(5)がすべて「もっともらしい」値になっています。符号の扱いと、$\varepsilon_2$ が分母側にあることの2点を正確に押さえないと選べません。

⚠️ よくある間違い
誤差率は「掛け算」ではなく「足し算」で合成します。(1)の 0.0001 は誤差率どうしを掛けた値——二次の微小量なので無視できる大きさです。桁が2つ小さい選択肢は、まず疑ってください。

深掘り①：なぜ誤差率は足し算になるのか

$$R_x’=\frac{R_1(1+\varepsilon_1)R_3(1+\varepsilon_3)}{R_2(1+\varepsilon_2)}$$

❶ 誤差を含む式

$$\fallingdotseq R_x(1+\varepsilon_1)(1+\varepsilon_3)(1-\varepsilon_2)$$

❷ $1/(1+\varepsilon)\fallingdotseq1-\varepsilon$
$\varepsilon$ が小さいとき

$$\fallingdotseq R_x(1+\varepsilon_1+\varepsilon_3-\varepsilon_2)$$

❸ 二次の項を捨てる
$\varepsilon^2$ は無視できる

$(1+a)(1+b)\fallingdotseq1+a+b$——$ab$ が $a$ や $b$ に比べて非常に小さいからです。$a=b=0.01$ なら $ab=0.0001$ で、100分の1。

この近似は誤差計算のあらゆる場面で使えます。「積の誤差率＝誤差率の和」「商の誤差率＝誤差率の差」——覚えておくと計測分野で何度も役立ちます。

深掘り②：ホイートストンブリッジの平衡条件

検流計に電流が流れない＝検流計の両端が同電位ということです。2つの分圧回路の分圧比が等しくなる条件を求めれば平衡条件が出ます。

$$\frac{R_1}{R_1+R_x}=\frac{R_2}{R_2+R_3}$$

❶ 分圧比が等しい
検流計の両端が同電位

$$R_1(R_2+R_3)=R_2(R_1+R_x)$$

❷ たすき掛け

$$R_1R_3=R_2R_x\ \Rightarrow\ R_x=\frac{R_1R_3}{R_2}$$

❸ 平衡条件
対辺の積が等しい

「向かい合う辺の抵抗の積が等しい」——これがブリッジ平衡条件の覚え方です。どの位置に $R_x$ があっても、この一言で式が書けます。

ブリッジ法の強みは、電源電圧や検流計の感度に結果が左右されないことです。「ゼロかどうか」だけを見るので、目盛りの精度が関係ありません——零位法の典型です。

深掘り③：誤差の種類と表し方

用語	定義	式
絶対誤差	測定値と真値の差	$\Delta M=M-T$
誤差率（相対誤差）	絶対誤差÷真値	$\varepsilon=\Delta M/T$
補正	真値と測定値の差	$\alpha=T-M=-\Delta M$
補正率	補正÷測定値	$\alpha/M$

誤差と補正は符号が逆です。「測りすぎたら引く」——補正は誤差を打ち消す量だと考えれば混同しません。

誤差率の分母は真値、補正率の分母は測定値——分母が違うのも要注意です。誤差が小さければどちらもほぼ同じ値になりますが、定義は区別してください。

💡 覚え方
「掛け算なら誤差率を足す、割り算なら引く」。$R_x=R_1R_3/R_2$ なら $\varepsilon_x=\varepsilon_1+\varepsilon_3-\varepsilon_2$——分子にあるものは＋、分母にあるものは−、これだけです。

⏱️ 本番での進め方
❶ まず平衡条件を書く：向かい合う辺の積が等しい。
❷ $R_x$ の式で、分子か分母かを確認する。
❸ 分子なら＋、分母なら−で足し引きする。
❹ 符号付きの $\varepsilon$ をそのまま代入——マイナスのマイナスに注意。
★検算：$(1.01\times1.02/0.99)$ を電卓で。1.0406 なら正解。