磁気・電磁力37【電験3種理論】三角形ループがソレノイド磁界に侵入するときの誘導電圧の波形！平成27年 A問題5 完全解説

2026年7月12日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（磁気・電磁力）平成27年度 A問題5 三角ループが磁界に侵入！誘導電圧の波形はどの形？

今回は平成27年度理論科目 A問題5を解説します。三角形ループがソレノイドの磁界（磁束密度B）に一定速度uで侵入するとき、抵抗器に加わる誘導電圧e(t)の波形を選ぶ問題です。

頂点Pから侵入するため、磁界内に入る面積は(t−T)²に比例します。したがってe＝−dΦ/dtは−(t−T)に比例し、電圧の値は0から負方向へ直線的に減少します。絶対値は終端直前にBudへ近づき、ループ全体が入った直後に0へ戻ります。

平成27年度理論科目 A問題5：問題文と選択肢

まずは、平成27年度に実際に出題された問題文と選択肢を確認しましょう。

電験3種理論科目磁気・電磁力平成27年度 A問題5 問題文 — 平成27年度理論科目 A問題5 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成27年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題5

電験3種理論科目【電磁気（磁気・電磁力）】平成27年度 A問題5

　十分長いソレノイド及び小さい三角形のループがある。図1はソレノイドの横断面を示しており、三角形ループも同じ面内にある。図2はその破線部分の拡大図である。面x＝0から右側の領域（x＞0の領域）は直流電流を流したソレノイドの内側であり、そこには+z方向の平等磁界が存在するとする。その磁束密度をB〔T〕（B＞0）とする。左側領域（x＜0）はソレノイドの外側であり磁界は零であるとする。三角形PQRの抵抗器付き導体ループがxy平面内を等速度u〔m/s〕で+x方向に進み、ソレノイドの巻線の隙間から内側に侵入していく。その際、導体ループの辺QRはy軸と平行を保っている。頂点Pが面x＝0を通過する時刻をT〔s〕とする。また、抵抗器の抵抗r〔Ω〕は十分大きいものとする。辺QRの中央の抵抗器に時刻t〔s〕に加わる誘導電圧をe(t)〔V〕とし、その符号は図中の矢印の向きを正と定義する。三角形ループがソレノイドの外側から内側に入り込むときのe(t)を示す図として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

三角形ループがソレノイドの外側から内側に入り込むときの誘導電圧e(t)を示す図として、最も近いものを図中の(1)〜(5)のうちから一つ選べ（e(t)の符号は図中の矢印の向きを正とする）。

出題のポイント：「頂点から入る」ので面積は時間の2乗で増える

三角形が頂点Pから磁界に侵入する——ここが本問のすべてです。侵入した部分は元の三角形と相似なので、面積は侵入距離の2乗に比例します。

磁束が $(t-T)^2$ に比例するなら、それを微分した誘導電圧は $(t-T)$ に比例——つまり直線的に変化する波形になります。「2乗を微分すると1乗」——この一手で波形が決まります。

ファラデーの法則と面積の関係

$$e=-\frac{d\varPhi}{dt}=-B\frac{dA}{dt}$$

※磁束密度 $B$ は一定なので、面積 $A$ の増え方だけが波形を決めます。

三角形ループが磁界領域へ頂点Pから侵入し高さxと底辺dx/wの相似三角形ができることを示す図 — 侵入部分は高さx＝u(t−T)、底辺dx/wの相似三角形なので、面積はA＝dx²/(2w)となり時間の2乗に比例します。

侵入面積を式にする

頂点Pが境界を通過した時刻を $T$ とすると、時刻 $t$ での侵入距離は $x=u(t-T)$ です。磁界内にある部分は、元の三角形と相似な小三角形になります。

$$\text{高さ}=x,\qquad\text{底辺}=\frac{dx}{w}$$

❶ 相似比から
元の三角形の高さ $w$、底辺 $d$

$$A(t)=\frac12\cdot x\cdot\frac{dx}{w}=\frac{du^2}{2w}(t-T)^2$$

❷ 面積
時間の2乗に比例

$$e(t)=-B\frac{dA}{dt}=-\frac{Bdu^2}{w}(t-T)$$

❸ 微分する
時間の1乗＝直線

符号が負になるのは、＋z 方向の磁束が増えるのを妨げる向きに電流が流れるからです。問題で定義された正の向きとは逆になります。

波形の形を決める3点

時刻	状態	$e(t)$
$t<T$	まだ磁界の外	0
$t=T$	頂点Pが境界に到達	0（ここから始まる）
$T<t<T+w/u$	侵入中	直線的に負へ下がる
$t=T+w/u$ 直前	ほぼ全体が入った	$-Bud$（最大の絶対値）
$t>T+w/u$	全体が磁界内	0（磁束が一定になる）

終端の値 $-Bud$ は、$e=-\dfrac{Bdu^2}{w}\times\dfrac{w}{u}=-Bud$ と求まります。これは辺QR（長さ $d$）が速度 $u$ で磁界を横切るときの起電力 $Bud$ そのもの——物理的にも辻褄が合います。

全体が入った直後に0に戻るのは、磁束が一定になって変化しなくなるからです。理想的な境界を仮定しているので、不連続に0へ跳ね返ります。

侵入面積Aから鎖交磁束Φと誘導電圧eを導き面積の放物線と電圧の負の直線を比較する図 — AとΦは(t−T)²に比例しますが、微分したeは−(t−T)に比例し、値は直線的に減少します。

答え0 から直線的に $-Bud$ まで下がり、その後0に戻る波形　→　選択肢(5)

平成27年度理論科目A問題5の誘導電圧が時刻Tから負の直線で−Budへ下がり全体侵入後0へ戻る波形 — e(t)は侵入前0、侵入中は−Bdu²(t−T)/w、全体侵入後は0となるため、正解は(5)です。

誤答の正体：どちらから入るかで波形が変わる

波形	どんなときの形か	判定
長方形（一定値）	辺QRから先に入る場合	× 面積が1乗で増える形
いきなり最大から減少	—	× 頂点から入るので最初は0
0から直線降下→0	頂点から入る場合	◎ 正解
放物線状の曲線	—	× 面積が2乗＝電圧は1乗＝直線

もし辺QRから先に磁界に入っていたら、波形はまったく違います。その場合は磁界内の面積が $d\times x$ で1乗に比例し、誘導電圧は一定値 $-Bud$ の長方形波になります。

「どちらから入るか」で波形が根本的に変わる——これが本問の設計意図です。図で頂点Pがどこにあるかを必ず確認してください。

⚠️ よくある間違い
「面積が2乗で増えるから、電圧も曲線になるはず」と考えるのが典型的な誤りです。電圧は磁束の微分なので、2乗を微分して1乗＝直線になります。グラフの形は、微分してから判断してください。

💡 覚え方
「面積の次数 − 1 が電圧の次数」と覚えてください。面積が1乗（長方形が入る）なら電圧は0乗＝一定、面積が2乗（三角形が頂点から入る）なら電圧は1乗＝直線です。

⏱️ 本番での進め方
❶ どこから入るかを図で確認する。頂点からか、辺からかで波形が変わる。
❷ 面積を時間の式で書く。相似なら2乗、平行辺なら1乗。
❸ 微分して次数を1つ下げる。2乗→直線、1乗→一定。
❹ 全体が入ったら0。磁束が変化しなくなる。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

深掘り：もし辺QRから先に入っていたら

本問は頂点Pから侵入する設定でしたが、向きを反転させて辺QRから先に入る場合を考えてみましょう。波形がまったく違うものになります。

入り方	磁界内の面積	誘導電圧 $e$	波形
頂点Pから（本問）	$(t-T)^2$ に比例	$(t-T)$ に比例	0から直線的に降下
辺QRから	台形状に増加（減速）	最大から0へ直線的に減少	いきなり最大、その後直線で0へ