今回は令和4年度下期 理論科目 A問題7を解説します。20 ℃でR1 [Ω]、温度係数α1 [℃−1]の抵抗器Aと、R2 [Ω]、温度係数0の抵抗器Bを並列接続し、20 ℃から21 ℃になったときの並列抵抗の変化率(r21−r20)/r20を求めます。
温度差はΔT＝21−20＝1 ℃です。したがってAはR1{1＋α1ΔT}＝R1(1＋α1)、Bはα2＝0なのでR2のままです。r21/r20を先に作ると、共通因子R1R2が消えて整理しやすくなります。
令和4年度下期 理論科目 A問題7：問題文と選択肢
電気技術者試験センター公表の公式問題は図のない文字式問題です。R1とR2はいずれも20 ℃での抵抗値で、求める変化率の分母はr20です。選択肢では分子がα1R1かα1R2か、分母末尾がα1R1かα1R2かを正確に見分けます。
電験3種 理論科目 【電気回路（直流回路）】 令和4年度下期 A問題7
20℃における抵抗値がR1〔Ω〕、抵抗温度係数がα1〔℃-1〕の抵抗器Aと、20℃における抵抗値がR2〔Ω〕、抵抗温度係数がα2＝0〔℃-1〕の抵抗器Bが並列に接続されている。その20℃と21℃における並列抵抗値をそれぞれr20〔Ω〕、r21〔Ω〕とし、(r21−r20)/r20を変化率とする。この変化率として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（1）α1R1R2/(R1+R2+α12R1) （2）α1R2/(R1+R2+α1R1) （3）α1R1/(R1+R2+α1R1)
（4）α1R2/(R1+R2+α1R2) （5）α1R1/(R1+R2+α1R2)
出題のポイント：変化率は「比を作ってから1を引く」
差を直接計算しようとすると、\(r_{21}-r_{20}\) は分数の引き算になって通分が煩雑です。そこで先に比 \(r_{21}/r_{20}\) を作ると、共通因子 \(R_1R_2\) がきれいに約分されて式が一気に軽くなります。あとは1を引くだけで変化率になります。$$\frac{r_{21}-r_{20}}{r_{20}}=\frac{r_{21}}{r_{20}}-1$$
もう一つの要点は温度差が1 ℃であること。20 ℃から21 ℃なので \(\Delta T=1\)、係数は \(1+\alpha_1\times1=1+\alpha_1\) とシンプルになります。そして変化するのはAだけ——Bは温度係数が0なので \(R_2\) のまま動きません。
問題の解説：比を作って1を引く
STEP1 両温度の並列合成抵抗を書く
そのままの値で並列合成
AだけがR₁(1+α₁)に変化
STEP2 比を作って共通因子を消す
割り算にすると分子の \(R_1R_2\) が約分されます。
R₁R₂が消えてすっきり
STEP3 1を引いて変化率にする
同じ分母の分数として1を引きます。分子を展開すると、ほとんどの項が消えます。
分母をそろえる
R₁・R₂・α₁R₁ が全部消える
分子に残るのは α₁R₂
ここが最大のひっかけです。温度で変化したのは \(R_1\) のほうなのに、分子に残るのは \(\alpha_1R_2\)——相手側の抵抗が顔を出します。「変化した側の文字が残るはず」という思い込みで(3)や(5)を選ばないよう注意してください。
選択肢に具体的な数値を入れて検算する
文字式は自分で数値を決めて代入するのが最も確実です。\(R_1=10\;\Omega\)、\(R_2=40\;\Omega\)、\(\alpha_1=0.004\;{}^\circ\mathrm{C}^{-1}\) として、実際に並列合成を計算すると \(r_{20}=8.000000\)、\(r_{21}=8.025580\)、変化率は 0.00319744 です。この値と各選択肢を照合します。
| 選択肢 | 式 | R₁=10, R₂=40, α₁=0.004 での値 | 判定 |
| (1) | α₁R₁R₂/(R₁+R₂+α₁²R₁) | 0.03199990 | ×（100倍ずれ） |
| (2) | α₁R₂/(R₁+R₂+α₁R₁) | 0.00319744 | ○ |
| (3) | α₁R₁/(R₁+R₂+α₁R₁) | 0.00079936 | ×（1/4） |
| (4) | α₁R₂/(R₁+R₂+α₁R₂) | 0.00318979 | ×（惜しいが分母が違う） |
| (5) | α₁R₁/(R₁+R₂+α₁R₂) | 0.00079745 | × |
(4)は正解と0.2%しか違いません。α₁が小さいので分母の \(\alpha_1R_1\) と \(\alpha_1R_2\) の差はごくわずかだからです。近い値の選択肢がある問題では、数値代入だけでは決着しないことがある——このときは式変形をきちんと追って、分母に残るのが \(\alpha_1R_1\)（変化した側）であることを確認する必要があります。
極限で式の妥当性を確かめる
得られた式が正しそうかは、極端な場合を代入すると分かります。
| 条件 | 物理的な意味 | 式の値 | 妥当性 |
| α₁ = 0 | Aも温度で変化しない | 0 | ○ 変化率が0になるのは当然 |
| R₂ → 0 | Bが短絡。合成抵抗は0に固定 | 0 | ○ Aが何をしても合成は0のまま |
| R₂ → ∞ | Bが開放。合成＝Aそのもの | α₁ | ○ Aの変化率がそのまま出る |
3つとも物理的な予想と一致しました。特にR₂→∞ で α₁ になるのが決定的です。Bを切り離せば合成抵抗はAそのものなので、変化率はAの変化率＝α₁ でなければなりません。(3)や(5)にこの極限を入れると \(\alpha_1R_1/\infty=0\) となり、明らかに誤りだと分かります。文字式は極限でふるいにかける——これは数値代入より強力な検証法です。
本番で使える時間短縮テクニック
⏱️ 本番での進め方
① 変化率は比を作ってから1を引く。差を直接計算しない
② 温度差は21−20＝1 ℃。20をそのまま入れない
③ 文字式の選択肢は極限（0、∞）で振るう。数値代入より速く確実なことが多い
④ 惜しい選択肢（本問の(4)）があるときは、分母に残るのがどちらの文字かを式変形で確認する
温度係数・文字式の出題履歴
同じ考え方を使う直流回路の問題です。あわせて解くと解法が定着します。
| 年度 | 記事 | 問われ方 |
| 令和4年度下期 A問題7 | 本問（直流回路23） | 温度係数のある抵抗の並列合成の変化率 |
| 平成23年度 A問題5 | 直流回路54 | 温度係数のある抵抗の並列合成の変化率（同型） |
| 令和5年度上期 A問題7 | 直流回路20 | 温度上昇で電流がどう変化するか |
| 令和2年度 A問題5 | 直流回路29 | 材質と断面積が異なる電線の抵抗を比較 |
| 平成25年度 A問題5 | 直流回路49 | 並列回路から未知抵抗Rxの式 |
💡 覚え方
変化率は\(r_{21}/r_{20}-1\)。比にすると \(R_1R_2\) が消える。答えの分子は変化しなかった側の \(R_2\)、分母には変化した側の \(\alpha_1R_1\) が残る。
⚠️ よくある間違い
温度変化するのは \(R_1\) ですが、分子に残るのは \(\alpha_1R_2\) です（変化した側の文字が残ると思い込まない）。α₁が小さいからと分母を \(R_1+R_2\) に近似すると、厳密式の選択肢と合わなくなります。
まとめ
| 温度差 | ΔT＝21−20＝1 ℃ |
| 20 ℃ | r20＝R1R2/(R1＋R2) |
| 21 ℃ | A：R1(1＋α1)、B：R2 |
| 比 | r21/r20＝(1＋α1)(R1＋R2)/(R1＋R2＋α1R1) |
| 変化率 | α1R2/(R1＋R2＋α1R1) |
| 極限検算 | α1＝0またはR2→0で0、R2→∞でα1 |
| 正答 | (2) |
▼あわせて解きたい関連問題
・抵抗温度係数の関連問題：【理論】令和5年度上期A問題7
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