直流回路23【電験3種 理論】温度係数のある抵抗の並列合成の変化率を求める！令和4年度下期 A問題7 完全解説

今回は令和4年度下期 理論科目 A問題7を解説します。温度係数α₁の抵抗器A（R₁）と、温度係数0の抵抗器B（R₂）を並列接続し、20℃と21℃での並列抵抗の変化率(r₂₁−r₂₀)/r₂₀を文字式で求める問題です。

並列抵抗はr＝R₁R₂/(R₁+R₂)。21℃ではAの抵抗がR₁(1+α₁)に増え、Bは変わりません。両者の比を取って整理すると変化率が求まります。

出題のポイント

令和4年度下期 理論科目 A問題7：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電気回路（直流回路）】 令和4年度下期 A問題7

　20℃における抵抗値がR₁〔Ω〕、抵抗温度係数がα₁〔℃^-1〕の抵抗器Aと、20℃における抵抗値がR₂〔Ω〕、抵抗温度係数がα₂＝0〔℃^-1〕の抵抗器Bが並列に接続されている。その20℃と21℃における並列抵抗値をそれぞれr₂₀〔Ω〕、r₂₁〔Ω〕とし、(r₂₁−r₂₀)/r₂₀を変化率とする。この変化率として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）α₁R₁R₂/(R₁+R₂+α₁²R₁)　（2）α₁R₂/(R₁+R₂+α₁R₁)　（3）α₁R₁/(R₁+R₂+α₁R₁)
（4）α₁R₂/(R₁+R₂+α₁R₂)　（5）α₁R₁/(R₁+R₂+α₁R₂)

ポイント解説：21℃でAだけ抵抗増、並列抵抗の比を整理する

20℃の並列抵抗はr₂₀＝R₁R₂/(R₁+R₂)。21℃では抵抗器AがR₁(1+α₁)に増え、抵抗器B（α₂＝0）は変わりません。

r₂₁/r₂₀を計算し、変化率＝r₂₁/r₂₀−1として整理します。

問題の解説

STEP1　21℃の並列抵抗

R₁′＝R₁(1+α₁)、Bは R₂ のまま。$$r_{21}=\frac{R_1’R_2}{R_1’+R_2}=\frac{R_1(1+\alpha_1)R_2}{R_1(1+\alpha_1)+R_2}$$

STEP2　r₂₁/r₂₀を求める

$$\frac{r_{21}}{r_{20}}=\frac{(1+\alpha_1)(R_1+R_2)}{R_1(1+\alpha_1)+R_2}=\frac{R_1+R_2+\alpha_1R_1+\alpha_1R_2}{R_1+R_2+\alpha_1R_1}$$

STEP3　変化率を求める

$$\frac{r_{21}-r_{20}}{r_{20}}=\frac{r_{21}}{r_{20}}-1=\frac{\alpha_1R_2}{R_1+R_2+\alpha_1R_1}$$したがって(2)です。

答え：(2)（変化率＝α₁R₂/(R₁+R₂+α₁R₁)）

まとめ

r20	R1R2/(R1+R2)
21℃	A→R1(1+α1)、B不変
比−1	α1R2/(R1+R2+α1R1)
答え	(2)

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