静電界8【電験3種 理論】地球を導体球と見なしたときの静電容量を求める！令和6年下期 A問題2 完全解説

今回は令和6年度下期 理論科目 A問題2を解説します。地球を、真空中にある半径6.37×10⁶mの導体球と見なしたときの静電容量を求める計算問題です。孤立導体球の静電容量の公式を覚えていれば一瞬で解けます。

孤立した導体球（半径r）の静電容量はC＝4πε₀rで表されます。半径に比例するだけのシンプルな公式です。値を代入して計算します。

令和6年度下期 理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和6年度下期 A問題2

　地球を、真空中にある半径6.37×10⁶mの導体球と見なしたとき、地球の静電容量の値〔F〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、真空の誘電率をε₀＝8.85×10^-12F/mとする。

（1）7.08×10^-4　（2）4.45×10^-3　（3）4.51×10³　（4）5.67×10⁴　（5）1.78×10⁵〔F〕

出題のポイント：地球を孤立導体球とみなす

試験では地球を半径6.37×10の6乗mの孤立導体球として単純化します。対向電極をもたないため、平行平板の式ではなくC＝4πε₀rを用います。

ポイント解説：球の電位から容量公式を導く

他に電極を持たない孤立した導体球（半径r）の静電容量はC＝4πε₀rで表されます。半径だけで決まり、半径に比例します。

この公式は「導体球の電位V＝Q/(4πε₀r)」からC＝Q/V＝4πε₀rとして導けます。

問題の解説：半径を公式へ代入

STEP1　孤立導体球の静電容量の公式に代入する

半径r＝6.37×10⁶mを代入すると、

$$C=4\pi\varepsilon_0 r=4\pi\times 8.85\times10^{-12}\times 6.37\times10^{6}$$

STEP2　計算する

$$C=1.112\times10^{-10}\times 6.37\times10^{6}\fallingdotseq 7.08\times10^{-4}\;[\mathrm{F}]$$

したがって、最も近いのは(1) 7.08×10^-4です。地球ほど大きな球でも静電容量は1mF以下と小さいことがわかります。

答え：(1) 7.08×10^-4 F

まとめ

孤立導体球の公式	C＝4πε0r
4πε0	≒1.11×10-10
半径 r	6.37×106m
静電容量 C	7.08×10-4F …(1)

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