静電界7【電験3種理論】2種類の誘電体を挿入した平行平板コンデンサに蓄えられる電荷！令和6年下期 A問題1 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）令和6年度下期 A問題1 2種類の誘電体を並べる！蓄えられる電荷は何C？

今回は令和6年度下期理論科目 A問題1を解説します。電極面積0.1m²、電極間隔6mmの平行平板コンデンサに、比誘電率ε₁＝2（厚さ2mm）と比誘電率ε₂＝4（厚さ4mm）の2種類の誘電体を電極と平行に挿入し、12Vを加えたときに蓄えられる電荷を求める計算問題です。

誘電体が電極と平行に層状に重なっているので、これは2つのコンデンサの直列接続です。各層の静電容量を求めて直列合成し、Q＝CVで電荷を計算します。

令和6年度下期理論科目 A問題1：問題文と選択肢

誘電体が電極と平行に挿入＝直列です。各層を別々のコンデンサとして計算し、直列合成してから電荷を求めます。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界令和6年度下期 A問題1 問題文 — 令和6年度下期理論科目 A問題1 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和6年度下期第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題1

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】令和6年度下期 A問題1

　図のように、電極面積0.1m²、電極間隔6mmの平行平板コンデンサに、比誘電率ε₁＝2、厚さ2mm及び比誘電率ε₂＝4、厚さ4mmの2種類の誘電体が電極と平行に挿入されている。このコンデンサに12Vの直流電圧を印加したとき、蓄えられる電荷の値〔C〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、真空の誘電率をε₀＝8.85×10^-12F/mとし、コンデンサの端効果は無視するものとする。

（1）5.3×10^-9　（2）7.8×10^-9　（3）9.4×10^-9　（4）2.1×10^-8　（5）4.5×10^-8〔C〕

出題のポイント：電極と平行な層は「直列」

2種類の誘電体が電極と平行に挿入されています。この配置は直列接続です。

配置	境界面の向き	電気的には	共通になる量	εが小さい層は
電極と平行に重ねる	極板に平行	直列	電束密度 D	電界が強い
横に並べる	極板に垂直	並列	電界 E	電荷を受け持たない

直列だと気づけば、あとは2つのコンデンサの合成です。各層を独立したコンデンサと見なして容量を計算し、直列合成してから $Q=CV$ を使います。

なぜ直列なのか——2つの層を電荷が順番に通り抜けるからです。上の層を通った電束はそのまま下の層へ入ります。「同じ電荷が両方を通る」＝直列、という判断です。

比誘電率2で厚さ2mmの層と比誘電率4で厚さ4mmの層を重ねた平行平板コンデンサと直列等価回路 — 厚さ方向に積層された誘電体は直列接続として扱います。

問題の解説：各層の容量を出して直列合成する

使う公式：平行平板の容量と直列合成

$$C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_rA}{d},\qquad \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2},\qquad Q=CV$$

※各層のdはその層の厚さ。全体の間隔6 mmではありません。

STEP1　各層の静電容量を求める

$$C_1=\frac{\varepsilon_0\times2\times0.1}{2\times10^{-3}}=8.85\times10^{-10}\;[\mathrm{F}]$$

❶ 上の層（εr＝2、厚さ2 mm）

$$C_2=\frac{\varepsilon_0\times4\times0.1}{4\times10^{-3}}=8.85\times10^{-10}\;[\mathrm{F}]$$

❷ 下の層（εr＝4、厚さ4 mm）
C₁と同じ値になった

2つの容量が一致するのは偶然ではありません。容量は $\varepsilon_r/d$ に比例しますが、$2/2=1$、$4/4=1$ と比が等しいので同じ値になります。「誘電率が2倍だが厚さも2倍」なので相殺されるのです。

STEP2　直列合成する

$$C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{C_1}{2}=4.425\times10^{-10}\;[\mathrm{F}]$$

❸ 同じ容量2個の直列は半分
計算が一気に楽になる

STEP3　電荷を求める

$$Q=CV=4.425\times10^{-10}\times12=5.31\times10^{-9}\;[\mathrm{C}]$$

❹ 代入

二つの誘電体層の静電容量を計算し直列合成容量を求める図 — 二層の容量はともに8.85×10のマイナス10乗Fで、合成容量はその半分です。

答え$Q\approx5.3\times10^{-9}\;[\mathrm{C}]$　→　選択肢(1)

検算：各層の電圧は $V_1=Q/C_1=6\;\mathrm{V}$、$V_2=Q/C_2=6\;\mathrm{V}$。合計12 Vで一致します ✓　容量が等しいので電圧も半分ずつです。

合成容量4.425×10のマイナス10乗Fと電圧12Vから電荷を計算する図 — 電荷は約5.3×10のマイナス9乗Cで、正解は(1)です。

各層の電界を見ると、誘電率の逆比になっている

電圧は半分ずつでしたが、厚さが違うので電界は異なります。

$$E_1=\frac{V_1}{d_1}=\frac{6}{2\times10^{-3}}=3000\;[\mathrm{V/m}]$$

❺ 上の層

$$E_2=\frac{V_2}{d_2}=\frac{6}{4\times10^{-3}}=1500\;[\mathrm{V/m}]$$

❻ 下の層
上の層の半分

$E_1:E_2=2:1$——これは比誘電率の逆比 $1/2:1/4=2:1$ と一致します ✓　直列では $E=D/\varepsilon$ なので、誘電率の小さい層ほど電界が強いという原則どおりです。

この確認が計算の妥当性を裏づけます。もし電界の比が誘電率の逆比になっていなければ、どこかで間違えています。

誤答の正体：並列と誤ると4倍になる

各選択肢がどんな計算から出るかを確かめました。

選択肢	値 [C]	その値が出る計算	判定
(1)	5.3×10⁻⁹	直列合成 $C_1C_2/(C_1+C_2)$ から　★正解	○
(2)	7.8×10⁻⁹	自然な計算では再現できず（散らし）	×
(3)	9.4×10⁻⁹	自然な計算では再現できず（散らし）	×
(4)	2.1×10⁻⁸	並列と誤解して $(C_1+C_2)V$ とした（2.124×10⁻⁸）	×
(5)	4.5×10⁻⁸	自然な計算では再現できず（散らし）	×

(4)は正解のちょうど4倍です。直列合成が $C_1/2$ なのに対し、並列は $2C_1$——4倍のずれが生じます。「並列と誤ると4倍」と覚えておくと、桁のずれで気づけます。

もう一つの典型ミスは、全体の厚さ6 mmを使ってしまうことです。「εr＝2で6 mm」なら $3.54\times10^{-9}$、「εr＝4で6 mm」なら $7.08\times10^{-9}$——どちらも選択肢にぴったり一致しません。「近い値がない」と気づいた時点で立ち止まれます。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 電極と平行に挿入＝直列（電極に垂直な境界なら並列）
② 各層のdはその層の厚さ。全体の間隔を使わない
③ $\varepsilon_r/d$ が等しければ容量も等しい——同じ値なら直列合成は半分で済む
④ 検算は各層の電圧の和が印加電圧になるか（6＋6＝12 V）
⑤ さらに電界の比が誘電率の逆比になっているかを確認

💡 覚え方
「平行に挿入なら直列、容量は $\varepsilon_r/d$ 比べ」。本問は $2/2$ と $4/4$ でどちらも1——容量が等しいので直列合成は単純に半分です。数値がきれいに揃うよう作られています。

⚠️ よくある間違い
並列と誤解するのが最大のミスで、答えが4倍（選択肢(4)）になります。電極と平行な層は直列です。次に多いのが全体の厚さ6 mmを各層の計算に使う誤りで、この場合は選択肢のどれとも一致しません。