静電界6【電験3種 理論】導体球間のクーロン力の比例定数と電荷分配後の力の釣合い！令和7年上期 B問題17 完全解説

今回は令和7年度上期 理論科目 B問題17を解説します。大きさの等しい2つの導体球A、Bについて、（a）クーロン力の比例定数を実測値から求め、（b）電荷を持たない導体球CをA・Bに順に接触させて電荷を分配した後、Cに働く力が釣り合う位置を求める計算問題です。

（a）はF＝kq_Aq_B/r²にそのまま代入します。（b）は同じ大きさの導体球を接触させると電荷が等分されることを使い、Cの電荷を順に求めてから、A・Bから受ける力が等しくなる位置を解きます。

令和7年度上期 理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和7年度上期 B問題17

　大きさが等しい二つの導体球A、Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合、両導体球の間に働く力は、導体球に蓄えられている電荷の積に比例し、導体球の中心間距離の2乗に反比例する。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）この場合の比例定数を求める目的で、導体球Aに＋4×10^-8C、導体球Bに＋6×10^-8Cの電荷を与えて、導体球の中心間距離で0.3m隔てて両導体球を置いたところ、両導体球間に2.4×10^-4Nの反発力が働いた。この結果から求められる比例定数〔N・m²/C²〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、導体球A、Bの初期電荷は零とする。また、両導体球の大きさは0.3mに比べて極めて小さいものとする。

（1）3×10⁹　（2）4×10⁹　（3）9×10⁹　（4）12×10⁹　（5）15×10⁹

（b）上記(a)の導体球A、Bを、電荷を保持したままで0.3mの中心間距離を隔てて固定した。ここで、導体球A、Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球Cを用意し、導体球Cをまず導体球Aに接触させ、次に導体球Bに接触させた。この導体球Cを導体球Aと導体球Bの間の直線上に置くとき、導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球Aとの中心間距離で表したとき、その距離の値〔m〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.062　（2）0.095　（3）0.105　（4）0.115　（5）0.124

出題のポイント：接触のたびに電荷を追跡

同じ大きさの導体球を接触させると、二球の合計電荷が等分されます。CをA、次にBへ接触させる順序どおりに電荷を更新してから、Cに働く二つのクーロン力の釣合いを考えます。

ポイント解説：(a) 実測値から比例定数k

（a）はクーロンの法則F＝k・q_Aq_B/r²そのものです。実測の力・電荷・距離を代入すれば比例定数k（＝クーロン定数）が求まります。

（b）のカギは同じ大きさの導体球を接触させると電荷が均等に分けられることです。Cを順にA、Bへ接触させて各球の電荷を追跡し、Cが受ける2力が等しくなる位置を求めます。

問題の解説：(b) 二つの反発力が釣り合う位置

STEP1　（a）クーロンの法則で比例定数kを求める

$$F=k\frac{q_A q_B}{r^2}\;\Rightarrow\;k=\frac{F r^2}{q_A q_B}=\frac{2.4\times10^{-4}\times(0.3)^2}{(4\times10^{-8})(6\times10^{-8})}$$

$$k=\frac{2.4\times10^{-4}\times0.09}{2.4\times10^{-15}}=9.0\times10^{9}\;[\mathrm{N\cdot m^2/C^2}]$$

したがって（a）は(3) 9×10⁹です（クーロン定数そのもの）。

STEP2　（b）導体球Cの電荷を追跡する

Cを導体球A（＋4×10^-8C）に接触させると、等分されて両球とも$$\frac{4\times10^{-8}}{2}=2\times10^{-8}\;[\mathrm{C}]$$になります（A→2×10^-8、C→2×10^-8）。

次にCを導体球B（＋6×10^-8C）に接触させると、$$\frac{(2+6)\times10^{-8}}{2}=4\times10^{-8}\;[\mathrm{C}]$$となり、B→4×10^-8、C→4×10^-8です。

以上より、q_A＝2×10^-8C、q_B＝4×10^-8C、q_C＝4×10^-8Cとなります。

STEP3　（b）力が釣り合う位置を求める

Cを距離x（Aから）に置くと、Bまでは(0.3−x)。CがA・Bから受ける反発力が等しいとき釣り合うので、

$$k\frac{q_A q_C}{x^2}=k\frac{q_B q_C}{(0.3-x)^2}\;\Rightarrow\;\frac{2\times10^{-8}}{x^2}=\frac{4\times10^{-8}}{(0.3-x)^2}$$

$$(0.3-x)^2=2x^2\;\Rightarrow\;0.3-x=\sqrt{2}\,x\;\Rightarrow\;x=\frac{0.3}{1+\sqrt{2}}\fallingdotseq 0.124\;[\mathrm{m}]$$

したがって（b）は(5) 0.124です。

答え：(a)-(3)、(b)-(5)

まとめ

(a)比例定数 k	9×109 …(3)
Cの電荷（A接触後）	2×10-8C
Cの電荷（B接触後）	4×10-8C
(b)釣合い位置 x	0.3/(1+√2)≒0.124m …(5)

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・クーロンの法則・静電界の関連問題：【理論】令和7年度下期A問題2