静電界5【電験3種 理論】導体球を誘電体の液体で満たしたときの静電気特性の変化！令和7年上期 A問題2 完全解説

今回は令和7年度上期 理論科目 A問題2を解説します。真空中にQ〔C〕の電荷をもつ半径r〔m〕の球状導体があり、周囲の空間を比誘電率2の絶縁体の液体で満たしたときに、電位・電界・電束密度・電気力線・静電容量がどう変化するかを問う論述問題です。

誘電率εが2倍になると、電位V＝Q/(4πεr)や電界E＝Q/(4πεr²)は1/2に、電束密度Dと電気力線（電束）はQで決まるため変化の仕方が異なります。一方、静電容量C＝4πεrはεに比例して2倍になります。

令和7年度上期 理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和7年度上期 A問題2

　真空中にQ〔C〕の電荷をもつ半径r〔m〕の球状導体がある。ここで、真空の空間を比誘電率2の絶縁体の液体で満たしたとすると、静電気に関する記述として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、無限遠点の電位を零電位とする。

(1) 球状導体表面の電位は、液体を満たす前の2倍になった。
(2) 球状導体表面の電界の強さは、液体を満たす前の2倍になった。
(3) 球状導体表面の電束密度は、液体を満たす前の2倍になった。
(4) 球状導体から出る電気力線の本数は、液体を満たす前の2倍になった。
(5) 球状導体の静電容量は、液体を満たす前の2倍になった。

出題のポイント：誘電率が2倍になったときの変化

電荷Qと半径rを一定にして周囲の誘電率を2倍にすると、電位と電界は1/2、電束密度は不変、静電容量は2倍になります。電界Eと電束密度Dを混同しないことが重要です。

ポイント解説：各量の誘電率依存性

電荷Qを一定に保ったまま周囲を比誘電率ε_r＝2の誘電体で満たすと、誘電率がε₀→2ε₀と2倍になります。各量の変化を公式のε依存性で整理します。

電位V＝Q/(4πεr)と電界E＝Q/(4πεr²)はεに反比例して1/2に、電束密度D＝Q/(4πr²)はεに無関係で不変、静電容量C＝4πεrはεに比例して2倍になります。

問題の解説：選択肢を順に判定

STEP1　各量の誘電率依存性を整理する

球状導体（半径r、電荷Q）の各量は、$$V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r},\quad E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2},\quad D=\frac{Q}{4\pi r^2},\quad C=4\pi\varepsilon r$$

εが2倍になると、Vは1/2、Eは1/2、Dは不変（Qのみで決まる）、Cは2倍になります。

STEP2　電気力線の本数を確認する

電気力線（電界の力線）の総本数はガウスの法則よりQ/εで表され、εが2倍になると1/2になります。一方、電束線の本数はQのままで不変です。

STEP3　選択肢を判定する

(1)電位は1/2→誤り、(2)電界は1/2→誤り、(3)電束密度は不変→誤り、(4)電気力線の本数は1/2→誤り、(5)静電容量は2倍→正しい。

したがって、正しいのは(5)です。

答え：(5) 静電容量は2倍になった

まとめ

電位V・電界E	1/2（εに反比例）
電束密度D	不変（Qで決まる）
電気力線の本数	1/2（Q/ε）
静電容量C	2倍（εに比例）…(5)

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