静電界11【電験3種理論】空気中の孤立導体球に帯電できる最大の電荷！令和6年上期 A問題2 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）令和6年度上期 A問題2 孤立した金属球の限界！帯電できる最大電荷は？

今回は令和6年度上期理論科目 A問題2を解説します。空気中に孤立した半径a〔m〕の導体球に帯電できる最大の電荷を求める計算問題です。空気の絶縁耐力E_mと誘電率ε₀を用いて表します。

導体球表面の電界がE＝Q/(4πε₀a²)で表され、これが空気の絶縁耐力E_mを超えると放電します。E＝E_mとなる電荷Qが帯電できる最大値です。

令和6年度上期理論科目 A問題2：問題文と選択肢

導体球にどこまで電荷を与えられるか——限界を決めるのは表面の電界です。しかも本問は選択肢の単位を調べるだけで答えが1つに絞れます。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界令和6年度上期 A問題2 問題文 — 令和6年度上期理論科目 A問題2 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和6年度上期第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題2

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】令和6年度上期 A問題2

　空気中に孤立した半径a〔m〕の導体球に帯電できる最大の電荷の値〔C〕として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、空気の絶縁耐力及び誘電率はそれぞれE_m〔V/m〕及びε₀〔F/m〕とする。

（1）E_m/(4πε₀a²)　（2）E_m/(4πε₀a)　（3）4πε₀aE_m　（4）4πε₀a²E_m　（5）4πε₀a³E_m

出題のポイント：帯電の限界を決めるのは「電位」ではなく「電界」

導体球にどんどん電荷を与えていくと、どこかで空気が絶縁破壊して放電が始まります。その限界を決めるのは表面の電界であって、電位ではありません。

量	半径aの導体球での式	分母のaの次数	本問での役割
表面の電界 E	$\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0a^2}$	2乗	絶縁破壊の判定に使う
電位 V	$\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0a}$	1乗	本問では使わない

この2つは分母のaの次数だけが違います。よく似ているので取り違えやすく、実際に選択肢にはその混同を狙ったものが用意されています。

絶縁耐力 $E_m$ とは「その媒質が耐えられる電界の上限」です。単位が V/m であることからも、電界と比べるべき量だと分かります。空気なら約3×10⁶ V/m——これを超えると放電（火花）が飛びます。

半径aの導体球表面の電界と空気の絶縁耐力の関係を示す図 — 最大電荷は球表面の電界が絶縁耐力Emに達する条件で決まります。

答えを計算せずに決める方法——次元解析

この問題は選択肢の単位を調べるだけで答えが1つに絞れます。実際に確かめてみましょう。

使える文字は $\varepsilon_0\;[\mathrm{F/m}]$、$a\;[\mathrm{m}]$、$E_m\;[\mathrm{V/m}]$ の3つ。求めたいのは電荷 $[\mathrm{C}]$ です。

$$[\mathrm{F}]\times[\mathrm{V}]=\frac{[\mathrm{C}]}{[\mathrm{V}]}\times[\mathrm{V}]=[\mathrm{C}]$$

❶ ファラド×ボルト＝クーロン
$C=Q/V$ の定義から

$$\varepsilon_0a^2E_m:\;\frac{[\mathrm{F}]}{[\mathrm{m}]}\times[\mathrm{m}^2]\times\frac{[\mathrm{V}]}{[\mathrm{m}]}=[\mathrm{F}][\mathrm{V}]=[\mathrm{C}]$$

❷ 選択肢(4)を検算
mがきれいに消える

5つの選択肢すべてを同じ方法で調べた結果です。

選択肢	式	単位を整理すると	判定
(1)	$E_m/(4\pi\varepsilon_0a^2)$	クーロンにならない	×
(2)	$E_m/(4\pi\varepsilon_0a)$	クーロンにならない	×
(3)	$4\pi\varepsilon_0aE_m$	[C/m]——1桁足りない	×
(4)	$4\pi\varepsilon_0a^2E_m$	[C] ぴったり	○
(5)	$4\pi\varepsilon_0a^3E_m$	[C·m]——1桁多い	×

単位が合うのは(4)だけでした。公式をうろ覚えでも、「答えはクーロンでなければならない」という一点から正解にたどり着けます。

特に(3)は電位の式から作られた選択肢です。$V=Q/(4\pi\varepsilon_0a)$ を $Q=4\pi\varepsilon_0aV$ と変形し、Vのところに $E_m$ を入れてしまうと(3)になります。単位が [C/m] になるので、次元を見れば即座に排除できます。

問題の解説：限界条件を式にする

使う公式：導体球の表面電界と絶縁破壊の条件

$$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a^2},\qquad \text{放電しない条件：}\;E\le E_m$$

※球の外側の電界は、全電荷が中心にある点電荷と同じ。だから距離aでの点電荷の式がそのまま使えます。

STEP1　表面の電界を式にする

導体球では電荷が表面に一様に分布します。ガウスの法則を半径 $r\ge a$ の球面に適用すると、外部の電界は中心に点電荷Qがある場合と同じになります。

$$E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\quad(r\ge a)$$

❸ 球の外側の電界
距離の2乗に反比例

$$E(a)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a^2}$$

❹ 表面（r＝a）が最大
rが最小のときEが最大

電界が最も強いのは球の表面すぐ外側です。だから放電はそこから始まります。

STEP2　限界の条件を解く

$$\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a^2}=E_m$$

❺ ちょうど限界のとき
これを超えると放電

$$Q=4\pi\varepsilon_0a^2E_m\;[\mathrm{C}]$$

❻ Qについて解く
両辺に $4\pi\varepsilon_0a^2$ を掛けるだけ

導体球表面の電位と電界の公式を比較し絶縁破壊を決める電界を示す図 — 電位の分母はa、表面電界の分母はa二乗です。

答え$Q_{\max}=4\pi\varepsilon_0a^2E_m\;[\mathrm{C}]$　→　選択肢(4)

表面電界を絶縁耐力に等置して最大電荷を解く計算図 — 最大電荷は4πε₀a二乗Emで、正解は(4)です。

「とがった所ほど放電しやすい」——半径と電界の関係

求めた式を電界の側から見ると、実務で最も重要な事実が読み取れます。

$$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a^2}$$

❼ 同じ電荷なら
半径が小さいほど電界が強い

半径が半分になれば電界は4倍です。だからとがった部分（曲率半径が小さい所）に電界が集中し、そこから放電が始まります。

現象	半径と電界の関係の現れ方
避雷針	先端を鋭くして電界を集中させ、意図的にそこへ落雷させる
電線のコロナ放電	細い電線ほど表面電界が強く放電しやすい → 太い電線や多導体方式で対策
がいしの設計	角を丸めて電界集中を避ける
高圧機器の金具	エッジをなくし球面状にする（コロナリング）

送電線で多導体方式（1相を複数の細い電線で構成）が使われるのは、まさにこの理由です。見かけの半径を大きくして表面電界を下げ、コロナ損失を減らしています。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 絶縁破壊を決めるのは電界（単位 V/m）。電位（V）と取り違えない
② 球の表面電界は $Q/(4\pi\varepsilon_0a^2)$（分母はaの2乗）、電位は $Q/(4\pi\varepsilon_0a)$（1乗）
③ 文字式の選択肢は単位を確認する。本問は次元解析だけで答えが1つに決まる
④ 球の外側の電界は点電荷と同じ（ガウスの法則）
⑤ 半径が小さいほど電界が強い——とがった所から放電する

💡 覚え方
「破壊は電界、蓄積は電位」。絶縁破壊の判定は電界 $E=Q/(4\pi\varepsilon_0a^2)$、静電容量は電位 $V=Q/(4\pi\varepsilon_0a)$ から。分母のaの次数（2乗か1乗か）だけが違うので、セットで覚えてください。

⚠️ よくある間違い
電位の式を使って $4\pi\varepsilon_0aE_m$ とするのが最頻出のミスです（選択肢(3)）。これは単位が[C/m]になるので、次元を見れば防げます。また絶縁耐力を電圧だと思い込むのも誤りで、$E_m$ の単位はV/m——電界です。