静電界11【電験3種 理論】空気中の孤立導体球に帯電できる最大の電荷！令和6年上期 A問題2 完全解説

今回は令和6年度上期 理論科目 A問題2を解説します。空気中に孤立した半径a〔m〕の導体球に帯電できる最大の電荷を求める計算問題です。空気の絶縁耐力E_mと誘電率ε₀を用いて表します。

導体球表面の電界がE＝Q/(4πε₀a²)で表され、これが空気の絶縁耐力E_mを超えると放電します。E＝E_mとなる電荷Qが帯電できる最大値です。

令和6年度上期 理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和6年度上期 A問題2

　空気中に孤立した半径a〔m〕の導体球に帯電できる最大の電荷の値〔C〕として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、空気の絶縁耐力及び誘電率はそれぞれE_m〔V/m〕及びε₀〔F/m〕とする。

（1）E_m/(4πε₀a²)　（2）E_m/(4πε₀a)　（3）4πε₀aE_m　（4）4πε₀a²E_m　（5）4πε₀a³E_m

出題のポイント：最大電荷は表面電界で決まる

孤立導体球では表面直外の電界が最大です。この電界が空気の絶縁耐力Emに達すると放電が始まるため、E(a)＝Emが帯電できる最大条件になります。

ポイント解説：電位と電界を混同しない

孤立導体球（半径a、電荷Q）の表面での電界はE＝Q/(4πε₀a²)で表されます。これは球の中心に点電荷Qがあるときの、距離aでの電界と同じです。

この表面電界が空気の絶縁耐力E_mを超えると空気が絶縁破壊（放電）します。したがってE＝E_mとなるQが、帯電できる最大の電荷です。

問題の解説：限界条件からQを解く

STEP1　導体球表面の電界を式にする

半径aの導体球に電荷Qを与えたとき、表面（r＝a）での電界は、$$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\;[\mathrm{V/m}]$$

STEP2　絶縁耐力E_mを最大電界として解く

帯電できる最大の電荷は、表面電界が絶縁耐力E_mに等しくなるときです。E＝E_mとおくと、

$$E_m=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\;\Rightarrow\;Q=4\pi\varepsilon_0 a^2 E_m\;[\mathrm{C}]$$

したがって、正しいのは(4) 4πε₀a²E_mです。

答え：(4) 4πε₀a²E_m

まとめ

表面電界	E＝Q/(4πε0a2)
最大の条件	E＝Em（絶縁耐力）
最大電荷 Q	4πε0a2Em …(4)

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