静電界33【電験3種 理論】糸で吊るした帯電導体球A・Bのつり合いと接触後の距離変化！平成30年 A問題1 完全解説

今回は平成30年度 理論科目 A問題1を解説します。固定点Oから糸で吊るした2つの導体球A・Bにそれぞれ電荷Q・3Qを与えると、静電力で反発してd離れた位置で釣り合います。空欄（ア）〜（エ）に当てはまる語句・式の組合せを求める問題です。

ポイントは、クーロン力F＝Q・3Q/(4πε₀d²)と、静電力・重力・張力の三力のつり合いです。接触させると電荷は等分されて各2Qになり、電荷の積が3Q²→4Q²に増えるので距離dは増加します。

平成30年度 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成30年度 A問題1

　真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε₀〔F/m〕、重力加速度をg〔m/s²〕とする。A及びBは同じ大きさと質量m〔kg〕をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l〔m〕となる長さである。まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷Q〔C〕、3Q〔C〕を与えて帯電させたところ、静電力による（ア）が生じ、図のようにA及びBの中心点間がd〔m〕離れた状態で釣り合った。ただし、導体球の直径はdに比べて十分に小さいとする。このとき、個々の導体球において、静電力F＝（イ）〔N〕、重力mg〔N〕、糸の張力T〔N〕の三つの力が釣り合っている。三平方の定理よりF²＋(mg)²＝T²が成り立ち、張力の方向を考えるとF/T＝d/(2l)に等しい。これらよりTを消去し整理すると、dが満たす式として、k(d/2l)³＝√(1−(d/2l)²)が導かれる。ただし、係数k＝（ウ）である。次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し、同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離dは（エ）した。

上記の記述中の空白箇所（ア）、（イ）、（ウ）及び（エ）に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	反発力	3Q2/(4πε0d2)	16πε0l2mg/(3Q2)	増加
(2)	吸引力	Q2/(4πε0d2)	4πε0l2mg/Q2	増加
(3)	反発力	3Q2/(4πε0d2)	4πε0l2mg/Q2	増加
(4)	反発力	Q2/(4πε0d2)	16πε0l2mg/(3Q2)	減少
(5)	吸引力	Q2/(4πε0d2)	4πε0l2mg/Q2	減少

出題のポイント：クーロン力・三力のつり合い・接触後の電荷

同符号の電荷Qと3Qには反発力F＝3Q²/(4πε₀d²)が働きます。各球では、水平な静電力F、鉛直下向きの重力mg、糸に沿う張力Tがつり合います。x＝d/(2l)と置くとF/T＝x、mg/T＝√(1−x²)となり、係数kを整理できます。

ポイント解説：x＝d/(2l)で三力のつり合いを整理する

導体球A・Bは同符号（Q・3Q＞0）なので互いに反発（斥力）します。クーロン力はF＝(1/4πε₀)・Q・3Q/d²で求まります。

各球には静電力F・重力mg・糸の張力Tの三力が働き、つり合っています。接触させると電荷は等分されて各2Qになり、電荷の積が3Q²→4Q²に増えるので反発力が強まり、距離dは増加します。

問題の解説：係数kを導き、接触後の距離増加を判定する

STEP1　（ア）力の向きと（イ）静電力Fを求める

AとBは同符号の電荷なので、互いに反発力が働きます（＝（ア））。クーロンの法則より、F＝(1/4πε₀)×(Q×3Q)/d²＝3Q²/(4πε₀d²) Nしたがって（イ）は3Q²/(4πε₀d²)です。

STEP2　（ウ）係数kを求める

三力のつり合いからF/T＝d/(2l)、mg/T＝√(1−(d/2l)²)なので、√{1−(d/2l)²}＝(mg/F)(d/2l)＝[4πε₀d²mg/(3Q²)](d/2l)

d²＝4l²(d/2l)²を代入して整理すると、√{1−(d/2l)²}＝[16πε₀l²mg/(3Q²)](d/2l)³与式k(d/2l)³＝√(1−(d/2l)²)と比較して、（ウ）k＝16πε₀l²mg/(3Q²)です。

STEP3　（エ）接触後の距離変化を求める

接触させると電荷は等分され、各球は(Q＋3Q)/2＝2Qになります。電荷の積は接触前の Q×3Q＝3Q² から 2Q×2Q＝4Q² に増加します。

接触後の電荷積は4Q²なので、平衡式の係数は接触前の3/4倍になります。x＝d/(2l)とすると、kが小さくなった分だけ平衡を満たすxは大きくなるため、距離dは増加します（＝（エ））。したがって組合せは(1)です。

答え：(1)（（ア）反発力、（イ）3Q²/(4πε₀d²)、（ウ）16πε₀l²mg/(3Q²)、（エ）増加）

まとめ

(ア)力の向き	同符号→反発力
(イ)静電力F	3Q2/(4πε0d2)
(ウ)係数k	16πε0l2mg/(3Q2)
(エ)接触後の距離	増加（積3Q2→4Q2）
答え	(1)

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