静電界33【電験3種理論】糸で吊るした帯電導体球A・Bのつり合いと接触後の距離変化！平成30年 A問題1 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成30年度 A問題1 糸で吊った帯電球！接触させると距離はどう変わる？

今回は平成30年度理論科目 A問題1を解説します。固定点Oから糸で吊るした2つの導体球A・Bにそれぞれ電荷Q・3Qを与えると、静電力で反発してd離れた位置で釣り合います。空欄（ア）〜（エ）に当てはまる語句・式の組合せを求める問題です。

ポイントは、クーロン力F＝Q・3Q/(4πε₀d²)と、静電力・重力・張力の三力のつり合いです。接触させると電荷は等分されて各2Qになり、電荷の積が3Q²→4Q²に増えるので距離dは増加します。

🔁 この問題は繰り返し出題されています
ほぼ同じ問題が【理論】令和5年度下期A問題2 でも出題されています。出題パターンが固定なので、セットで解けば確実な得点源になります。

平成30年度理論科目 A問題1：問題文と選択肢

空欄が4つありますが、（ア）と（エ）は計算不要です。この2つで選択肢を絞ってから残りを確認するのが速い進め方です。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成30年度 A問題1 問題文 — 平成30年度理論科目 A問題1 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成30年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題1

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成30年度 A問題1

　真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε₀〔F/m〕、重力加速度をg〔m/s²〕とする。A及びBは同じ大きさと質量m〔kg〕をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l〔m〕となる長さである。まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷Q〔C〕、3Q〔C〕を与えて帯電させたところ、静電力による（ア）が生じ、図のようにA及びBの中心点間がd〔m〕離れた状態で釣り合った。ただし、導体球の直径はdに比べて十分に小さいとする。このとき、個々の導体球において、静電力F＝（イ）〔N〕、重力mg〔N〕、糸の張力T〔N〕の三つの力が釣り合っている。三平方の定理よりF²＋(mg)²＝T²が成り立ち、張力の方向を考えるとF/T＝d/(2l)に等しい。これらよりTを消去し整理すると、dが満たす式として、k(d/2l)³＝√(1−(d/2l)²)が導かれる。ただし、係数k＝（ウ）である。次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し、同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離dは（エ）した。

上記の記述中の空白箇所（ア）、（イ）、（ウ）及び（エ）に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（ア）（イ）（ウ）（エ）
(1) 反発力 3Q²/(4πε₀d²) 16πε₀l²mg/(3Q²) 増加
(2) 吸引力 Q²/(4πε₀d²) 4πε₀l²mg/Q² 増加
(3) 反発力 3Q²/(4πε₀d²) 4πε₀l²mg/Q² 増加
(4) 反発力 Q²/(4πε₀d²) 16πε₀l²mg/(3Q²) 減少
(5) 吸引力 Q²/(4πε₀d²) 4πε₀l²mg/Q² 減少

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	反発力	3Q²/(4πε₀d²)	16πε₀l²mg/(3Q²)	増加
(2)	吸引力	Q²/(4πε₀d²)	4πε₀l²mg/Q²	増加
(3)	反発力	3Q²/(4πε₀d²)	4πε₀l²mg/Q²	増加
(4)	反発力	Q²/(4πε₀d²)	16πε₀l²mg/(3Q²)	減少
(5)	吸引力	Q²/(4πε₀d²)	4πε₀l²mg/Q²	減少

出題のポイント：空欄4つのうち、2つは計算せずに決まる

空欄が4つある問題ですが、（ア）と（エ）は計算不要です。この2つで選択肢を絞ってから、残りを確認するのが効率的です。

空欄	問われていること	決め方	答え
（ア）	静電力の向き	同符号か異符号かを見るだけ	反発力
（イ）	静電力の大きさ	クーロンの法則に代入	$3Q^2/(4\pi\varepsilon_0d^2)$
（ウ）	係数k	三力のつり合いを整理	$16\pi\varepsilon_0l^2mg/(3Q^2)$
（エ）	接触後の距離	電荷の積が増えるか減るか	増加

（ア）で「反発力」と決まれば、吸引力とする選択肢が消えます。Qと3Qはどちらも正なので、反発するのは明らかです。

同じ固定点からつるした電荷Qと3Qの導体球に働く反発力、重力、張力を示す図 — 各球には静電力F、重力mg、張力Tの三力が働き、左右対称に釣り合います。

（エ）が本問の山場——接触で電荷の積はどう変わるか

接触させると電荷が等分されます。ここまでは知っている人も多いのですが、その結果として力が増えるのか減るのかまで詰める必要があります。

前提	起きること	式
大きさが等しい導体球どうし	電荷が等分される	$q_1’=q_2’=\dfrac{q_1+q_2}{2}$
なぜ等分か	接触すると1つの導体になり全体が等電位。同じ大きさなら電荷も同じ	$V=Q/C$、Cが同じ → Qも同じ

$$\text{接触前の積}=Q\times3Q=3Q^2$$

❶ 元の状態

$$\text{接触後の電荷}=\frac{Q+3Q}{2}=2Q\;(\text{両方とも})$$

❷ 等分される

$$\text{接触後の積}=2Q\times2Q=4Q^2$$

❸ 積が増えた
$3Q^2\to4Q^2$

電荷の総和は $4Q$ のまま変わりませんが、積は増えます。クーロン力は積に比例するので、力が強くなり、球はより離れます——だから距離dは増加します。

なぜ積が増えるのか——和が一定のとき、2つの数が等しいときに積が最大になるからです（相加相乗平均）。$Q$ と $3Q$ のような偏った組合せより、$2Q$ と $2Q$ の均等な組合せのほうが積は大きいのです。

$$a+b=\text{一定}\;\Rightarrow\;ab\;\text{は}\;a=b\;\text{のとき最大}$$

❹ 一般的な性質
接触後は必ず積が増える（または等しい）

この性質は一般に成り立ちます。同符号の電荷を持つ同じ大きさの球を接触させると、電荷の積は必ず増えるか変わらない——だから「接触させたら距離は増える（または変わらない）」と覚えておけます。

問題の解説：（イ）（ウ）を式で確認する

使う公式：クーロンの法則と三力のつり合い

$$F=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0d^2},\qquad F^2+(mg)^2=T^2,\qquad \frac{F}{T}=\frac{d}{2l}$$

※糸の傾きが $F/T=d/(2l)$ を与えます。球は糸の長さ $l$ の位置にあり、水平距離は $d/2$ です。

STEP1　（イ）静電力の大きさ

$$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q\times3Q}{d^2}=\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0d^2}\;[\mathrm{N}]$$

❺ 代入するだけ
分子に3が付く

STEP2　（ウ）係数kを導く

$x=d/(2l)$ と置くと見通しが良くなります。三力のつり合いから張力Tを消去します。

$$\frac{F}{T}=x,\qquad \frac{mg}{T}=\sqrt{1-x^2}$$

❻ 三平方の定理から
水平成分と鉛直成分

$$\frac{F}{mg}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

❼ Tを消去

$$\sqrt{1-x^2}=\frac{16\pi\varepsilon_0l^2mg}{3Q^2}x^3$$

❽ $d=2lx$ を代入して整理
括弧内が係数k

係数kの分母に $3Q^2$ が入ります。（イ）で求めた力の分子の3が、ここでは分母に移っている——この対応を確認すると転記ミスを防げます。

導体球Aの自由体図と糸の長さl、半間隔d割る2から三力の比を導く図 — x＝d/(2l)と置けば、F/T＝x、mg/T＝√(1−x²)です。

答え（ア）反発力、（イ）$3Q^2/(4\pi\varepsilon_0d^2)$、（ウ）$16\pi\varepsilon_0l^2mg/(3Q^2)$、（エ）増加　→　選択肢(1)

接触前後の電荷積と係数kを比較して導体球間の距離が増加すると判定する図 — 接触後は各2Qとなって電荷積が4Q²へ増え、kが3/4倍になるため平衡距離dは増加します。

誤答の正体：2段階で絞り込める

選択肢	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）	判定
(1)	反発力	$3Q^2/(4\pi\varepsilon_0d^2)$	$16\pi\varepsilon_0l^2mg/(3Q^2)$	増加	○
(2)	吸引力 ×	$Q^2/(\cdots)$	—	増加	×
(3)	反発力	$3Q^2/(\cdots)$	分母に3がない ×	増加	×
(4)	反発力	$Q^2$（3を落とした）×	—	減少 ×	×
(5)	吸引力 ×	$Q^2/(\cdots)$	—	減少	×

（ア）だけで(2)(5)が消えます。正電荷どうしは反発する——一瞬で判断できます。

次に（エ）で(4)が消えます。接触後は積が増えるので距離も増加。この時点で(1)と(3)の2択になり、あとは（ウ）の係数を確認するだけです。

(3)は（ウ）の分母から3が抜けた形です。（イ）で $3Q^2$ と正しく書けていても、（ウ）へ引き継ぐときに落としてしまう——係数の中に前の答えが埋まっていることを意識してください。

(4)の「減少」を選ぶのは、「電荷が均されたから力が弱まる」と考えた場合です。しかし均されたことで積は増えています。和ではなく積が力を決めます。

この問題は過去問と完全に同じ内容で再出題されています

本問は令和5年度下期理論科目 A問題2と同一の問題です。問題文・図・5つの選択肢の内容も正答(1)も、すべて同一です。

電験3種では数年おきに同じ問題がそのまま再出題されます。特に「クーロン力と三力のつり合い」という定番テーマは繰り返し問われるため、過去問演習の効果が非常に高い分野です。

ただし選択肢の番号で覚えるのは危険です。再出題の際に並び順が変わることもあります。解き方の手順ごと身につけてください。

あわせて解いておきたい記事：令和5年度下期理論科目 A問題2

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 空欄補充は計算不要の欄から埋める（本問なら（ア）と（エ））
② 同符号なら反発、異符号なら吸引——一瞬で2つ消せる
③ 接触＝電荷の等分。和は不変、積は増える（または不変）
④ 積が増える → 力が増す → 距離は増加
⑤ 係数の欄には前の欄の答えが埋まっている——3などの数字を落とさない

💡 覚え方
「接触すると均されて、積が増える」。和が同じなら均等なほうが積は大きい（相加相乗平均）。だから接触後は必ず力が強まり、距離は広がります。

⚠️ よくある間違い
接触後の電荷をQと3Qのままにするのが最頻出のミスです。等分されて2Qと2Qになります。また「均されたから弱まる」と考えて減少を選ぶのも誤りで、積は3Q²から4Q²へ増えます。

まとめ

(ア)力の向き	同符号→反発力
(イ)静電力F	3Q²/(4πε₀d²)
(ウ)係数k	16πε₀l²mg/(3Q²)
(エ)接触後の距離	増加（積3Q²→4Q²）
答え	(1)