静電界13【電験3種 理論】糸でつり下げた帯電導体球に働く静電力と接触後の変化！令和5年下期 A問題2 完全解説

今回は令和5年度下期 理論科目 A問題2を解説します。点Oから軽い糸でつり下げた2つの導体球A、Bに電荷Q、3Qを与えたときの静電力・張力・重力の釣合いと、接触させて電荷を等分した後の距離の変化を問う空欄補充問題です。

静電力F・重力mg・張力Tの三力のつり合いと三平方の定理を使います。接触後は電荷が等分され（Q,3Q→2Q,2Q）、電荷の積が3Q²→4Q²と増えるため力が増し、距離dは大きくなります。

令和5年度下期 理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和5年度下期 A問題2

　真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε₀〔F/m〕、重力加速度をg〔m/s²〕とする。A及びBは同じ大きさと質量m〔kg〕をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l〔m〕となる長さである。

　まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷Q〔C〕、3Q〔C〕を与えて帯電させたところ、静電力による（ア）が生じ、A及びBの中心点間がd〔m〕離れた状態で釣り合った。このとき、個々の導体球において、静電力F＝（イ）〔N〕、重力mg〔N〕、糸の張力T〔N〕の三つの力が釣り合っている。三平方の定理よりF²＋(mg)²＝T²が成り立ち、張力の方向を考えるとF/Tはd/2lに等しい。これらよりTを消去し整理すると、k(d/2l)³＝√(1-(d/2l)²)が導かれる。ただし、係数k＝（ウ）である。

　次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し、同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離dは（エ）した。

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	反発力	3Q2/(4πε0d2)	16πε0l2mg/(3Q2)	増加
(2)	吸引力	Q2/(4πε0d2)	4πε0l2mg/Q2	増加
(3)	反発力	3Q2/(4πε0d2)	4πε0l2mg/Q2	増加
(4)	反発力	Q2/(4πε0d2)	16πε0l2mg/(3Q2)	減少
(5)	吸引力	Q2/(4πε0d2)	4πε0l2mg/Q2	減少

出題のポイント：三力のつり合い

同符号の二球には互いに離れる向きの反発力が働きます。各球では水平な静電力F、鉛直下向きの重力mg、糸に沿う張力Tの三力がつり合います。

ポイント解説：係数kを導く

帯電した2球（同符号）には反発力が働きます。各球では静電力F・重力mg・張力Tがつり合い、三平方の定理と幾何関係F/T＝d/2lから係数kが定まります。

接触させると同じ大きさの導体球なので電荷が等分され、Q・3Q→2Q・2Qになります。電荷の積が3Q²→4Q²と増えるので力が増し、距離dは大きくなります。

問題の解説：接触後は電荷積が増える

STEP1　（ア）（イ）静電力の向きと大きさ

A（Q）とB（3Q）は同符号なので反発力（ア）です。クーロンの法則より、$$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\cdot 3Q}{d^2}=\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}\;[\mathrm{N}]$$（イ）となります。

STEP2　（ウ）係数kを求める

F/T＝d/2l、mg/T＝√(1-(d/2l)²)より、F/mg＝(d/2l)/√(1-(d/2l)²)。ここでd＝2l・(d/2l)を用いてFを代入し整理すると、

$$\sqrt{1-(d/2l)^2}=\frac{16\pi\varepsilon_0 mg\,l^2}{3Q^2}\left(\frac{d}{2l}\right)^3$$

よって係数は$$k=\frac{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg}{3Q^2}$$（ウ）です。

STEP3　（エ）接触後の距離の変化

接触で電荷が等分され、両球とも(Q＋3Q)/2＝2Qになります。電荷の積は3Q²→(2Q)(2Q)＝4Q²と増加するので、反発力が増し距離dは増加（エ）します。

以上より、組合せは(1)です。

答え：(1)（反発力・3Q²/(4πε₀d²)・16πε₀l²mg/(3Q²)・増加）

まとめ

(ア)静電力	反発力
(イ)力F	3Q2/(4πε0d2)
(ウ)係数k	16πε0l2mg/(3Q2)
(エ)接触後の距離	増加 …(1)

▼あわせて解きたい関連問題
・クーロンの法則・力の釣合いの関連問題：【理論】令和7年度上期B問題17