静電界14【電験3種 理論】並列接続した2つの誘電体コンデンサの電界・電束密度・電荷！令和5年上期 A問題1 完全解説

今回は令和5年度上期 理論科目 A問題1を解説します。面積S・間隔dが等しく比誘電率がε_r1、ε_r2と異なる2つの平行平板コンデンサC₁、C₂を並列接続し、電圧V₀を加えたときの電界E・電束密度D・電荷Qを求める空欄補充問題です。

並列なので両コンデンサの電圧はV₀で共通、間隔も等しいので電界E＝V₀/dは両者で等しくなります。電束密度D＝εEと電荷Q＝DSは比誘電率に比例します。

令和5年度上期 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和5年度上期 A問題1

　電極板面積と電極板間隔が共にS〔m²〕とd〔m〕で、一方は比誘電率がε_r1の誘電体からなる平行平板コンデンサC₁と、他方は比誘電率がε_r2の誘電体からなる平行平板コンデンサC₂がある。今、これらを図のように並列に接続し、端子A、B間に直流電圧V₀〔V〕を加えた。このとき、コンデンサC₁の電極板間の電界の強さをE₁、電束密度をD₁、また、コンデンサC₂の電極板間の電界の強さをE₂、電束密度をD₂とする。両コンデンサの電界の強さE₁とE₂はそれぞれ（ア）であり、電束密度D₁とD₂はそれぞれ（イ）である。したがって、コンデンサC₁に蓄えられる電荷をQ₁、コンデンサC₂に蓄えられる電荷をQ₂とすると、それらはそれぞれ（ウ）となる。ただし、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。

	（ア）電界	（イ）電束密度	（ウ）電荷
(1)	E1＝εr1V0/d、E2＝εr2V0/d	D＝εrSV0/d	Q＝ε0εrSV0/d
(2)	E1＝εr1V0/d、E2＝εr2V0/d	D＝ε0εrV0/d	Q＝ε0εrSV0/d
(3)	E1＝E2＝V0/d	D＝ε0εrSV0/d	Q＝ε0εrV0/d
(4)	E1＝E2＝V0/d	D＝ε0εrV0/d	Q＝ε0εrSV0/d
(5)	E1＝ε0εr1SV0/d、E2＝ε0εr2SV0/d	D＝ε0εrV0/d	Q＝ε0SV0/d

出題のポイント：並列接続では電界が共通

並列接続された2つのコンデンサには同じ電圧V₀がかかります。電極間隔も同じdなので、電界はどちらもE＝V₀/dです。比誘電率が影響するのは電束密度Dと電荷Qであり、電界Eではありません。

ポイント解説：E・D・Qの式を順に整理

並列接続なので両コンデンサの電圧はV₀で共通、間隔dも等しいので、電界はE₁＝E₂＝V₀/dと等しくなります（比誘電率に関係しません）。

電束密度はD＝ε₀ε_rE＝ε₀ε_rV₀/d、電荷はQ＝DS＝ε₀ε_rSV₀/dとなり、いずれも比誘電率ε_rに比例します。

問題の解説：正答(4)を3段階で導く

STEP1　（ア）電界を求める

並列なので両者の電圧はV₀、間隔はdで共通です。電界は$$E_1=E_2=\frac{V_0}{d}\;[\mathrm{V/m}]$$で、比誘電率に依存しません。

STEP2　（イ）電束密度を求める

電束密度はD＝ε₀ε_rEなので、$$D_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}V_0}{d},\quad D_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}V_0}{d}$$（面積Sは含みません）。

STEP3　（ウ）電荷を求める

電荷はQ＝DSより、$$Q_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}SV_0}{d},\quad Q_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}SV_0}{d}$$

以上より、組合せは(4)です。

答え：(4)（E=V₀/d、D=ε₀εᵣV₀/d、Q=ε₀εᵣSV₀/d）

まとめ

(ア)電界	E1＝E2＝V0/d
(イ)電束密度	D＝ε0εrV0/d
(ウ)電荷	Q＝ε0εrSV0/d
組合せ	(4)

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