静電界24【電験3種 理論】並置した2誘電体コンデンサの電気力線と電束の総数！令和3年 A問題1 完全解説

今回は令和3年度 理論科目 A問題1を解説します。比誘電率の異なる2つの誘電体を横に並べて充填した平行平板コンデンサ（電圧V一定）について、各誘電体を貫く電気力線と電束の総数の関係を問う空欄補充問題です。

並置（並列）なので両誘電体の電界E＝V/dは等しく、電気力線の数は等しい（ア＝1倍）。一方、電束D＝εEは比誘電率に比例し、電束の総和は極板電荷Qに等しくなります。

令和3年度 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和3年度 A問題1

　次の文章は、平行板コンデンサに関する記述である。

　図のように、同じ寸法の直方体で誘電率の異なる二つの誘電体（比誘電率ε_r1の誘電体1と比誘電率ε_r2の誘電体2）が平行板コンデンサに充填されている。極板間は一定の電圧V〔V〕に保たれ、極板Aと極板Bにはそれぞれ＋Q〔C〕と-Q〔C〕（Q>0）の電荷が蓄えられている。誘電体1と誘電体2は平面で接しており、その境界面は極板に対して垂直である。ただし、端効果は無視できるものとする。

　この平行板コンデンサにおいて、極板A、Bに平行な誘電体1、誘電体2の断面をそれぞれ面S₁、面S₂（面S₁と面S₂の断面積は等しい）とすると、面S₁を貫く電気力線の総数は、面S₂を貫く電気力線の総数の（ア）倍である。面S₁を貫く電束の総数は面S₂を貫く電束の総数の（イ）倍であり、面S₁と面S₂を貫く電束の数の総和は（ウ）である。

	（ア）	（イ）	（ウ）
(1)	1	εr1/εr2	Q
(2)	1	εr1/εr2	Q/εr1＋Q/εr2
(3)	1	εr2/εr1	Q/εr1＋Q/εr2
(4)	εr2/εr1	1	Q/εr1＋Q/εr2
(5)	εr2/εr1	1	Q

出題のポイント：電気力線と電束を区別する

誘電体1と2は極板間で横に並ぶ並列配置です。両領域には同じ電圧Vがかかり、極板間隔dも共通なのでE₁＝E₂＝V/dです。電気力線はE、電束はD＝ε₀εrEで比較します。

ポイント解説：Eは共通、Dは比誘電率に比例

誘電体1と2を横に並べた（並置＝並列）構成です。境界面が極板に垂直なので、両誘電体には同じ電圧Vがかかり、電界E＝V/dは共通。電気力線の密度＝電界なので、面S₁とS₂を貫く電気力線の総数は等しく（ア＝1倍）です。

電束密度D＝ε₀ε_rEは比誘電率に比例するので、電束の比は（イ）＝ε_r1/ε_r2。電束の総和はガウスの法則より極板電荷（ウ）＝Qに等しくなります。

問題の解説：3つの空欄を順に判定

STEP1　（ア）電気力線の総数の比を求める

並置（並列）なので両誘電体の電界はE＝V/dで共通です。電気力線の密度は電界の大きさに等しく、断面積S₁＝S₂なので、貫く電気力線の総数は等しく、$$\text{（ア）}=1\ \text{倍}$$

STEP2　（イ）電束の総数の比を求める

電束密度はD＝ε₀ε_rEで、電界は共通なので比誘電率に比例します。断面積が等しいので、$$\text{（イ）}=\frac{D_1}{D_2}=\frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}\ \text{倍}$$

STEP3　（ウ）電束の総和を求める

ガウスの法則より、閉曲面を貫く電束の総数はその内部の自由電荷に等しくなります。極板A側の電荷は＋Qなので、$$\text{（ウ）}=Q$$

以上より、組合せは(1)です。

答え：(1)（電気力線1倍、電束εᵣ₁/εᵣ₂倍、総和Q）

まとめ

(ア)電気力線の比	1倍（電界E共通）
(イ)電束の比	εr1/εr2倍（D∝ε）
(ウ)電束の総和	Q（＝極板電荷）
組合せ	(1)

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