静電界23【電験3種理論】直列接続した誘電体入りコンデンサの比誘電率と合成容量！令和4年上期 B問題17 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）令和4年度上期 B問題17 直列につないだ誘電体コンデンサ！合成容量は？

今回は令和4年度上期理論科目 B問題17を解説します。真空のコンデンサC₁と誘電体入りのC₂を直列接続し120Vを加えたとき、（a）C₂の比誘電率ε_r、（b）合成静電容量を求める計算問題です。C₁の板面積はC₂の2倍、C₁の電圧は80Vです。

直列では両コンデンサの電荷が等しいので、C₁V₁＝C₂V₂から容量比が分かります。これと平行平板の公式（面積・誘電率）を組み合わせてε_rを求め、直列合成でC全体を計算します。

令和4年度上期理論科目 B問題17：問題文と選択肢

直列の性質は「電荷が共通」「電圧は容量の逆比」の2つだけ。あとは面積の効果と誘電率の効果を切り分ければ答えが出ます。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界令和4年度上期 B問題17 問題文 — 令和4年度上期理論科目 B問題17 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和4年度上期第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題17

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】令和4年度上期 B問題17

　図のように直列に接続された二つの平行平板コンデンサに120Vの電圧が加わっている。コンデンサC₁の金属板間は真空であり、コンデンサC₂の金属板間には比誘電率ε_rの誘電体が挿入されている。コンデンサC₁、C₂の金属板間の距離は等しく、C₁の金属板の面積はC₂の2倍である。このとき、コンデンサC₁の両端の電圧が80Vであった。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

（a）コンデンサC₂の誘電体の比誘電率ε_rの値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）1　（2）2　（3）3　（4）4　（5）5

（b）C₁の静電容量が30μFのとき、C₁とC₂の合成容量の値〔μF〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）10　（2）20　（3）30　（4）40　（5）50

図　直列に接続された2つの平行平板コンデンサ（C1は真空、C2は誘電体）（問題図）

出題のポイント：直列では電荷が共通、電圧は容量の逆比

2つのコンデンサが直列につながれています。直列の性質を2つ使うだけの問題です。

直列接続の2つの性質

$$Q_1=Q_2\;(\text{電荷が共通}),\qquad C_1V_1=C_2V_2\;\Rightarrow\;\frac{V_1}{V_2}=\frac{C_2}{C_1}$$

※電圧は容量の逆比に分かれます。容量が小さいほうに大きい電圧がかかります。

「電圧は容量の逆比」——ここを取り違えると答えが逆になります。同じ電荷を蓄えるのに、容量が小さいほど大きな電圧が必要（$V=Q/C$）と考えれば納得できます。

与えられた情報	そこから分かること
全体120 V、C₁が80 V	C₂は40 V（残り）
$V_1:V_2=80:40=2:1$	$C_2:C_1=2:1$（逆比）
C₁の面積はC₂の2倍	面積比が容量比に効く
極板間距離は等しい	dは比較から消える

真空コンデンサC1と誘電体入りコンデンサC2の直列接続で電圧分担と共通電荷を示す図 — 直列では電荷が共通で、V₁/V₂＝C₂/C₁です。

(a) の解説：面積の効果と誘電率の効果を切り分ける

STEP1　電圧比から容量比を求める

$$V_2=120-80=40\;[\mathrm{V}]$$

❶ 残りの電圧

$$C_1V_1=C_2V_2\;\Rightarrow\;\frac{C_1}{C_2}=\frac{V_2}{V_1}=\frac{40}{80}=\frac12$$

❷ 電荷が等しいことから
$C_2=2C_1$

電圧が大きいC₁のほうが容量は小さい——逆比の関係が数値で確認できました。

STEP2　面積と誘電率から比誘電率を求める

C₂のほうが容量が大きいのですが、面積はC₂のほうが小さい（C₁の半分）。それでも容量が2倍になるのは、誘電体が入っているからです。

$$C_1=\frac{\varepsilon_0A_1}{d},\qquad C_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_rA_2}{d},\qquad A_1=2A_2$$

❸ それぞれの容量
dは共通

$$\frac{C_2}{C_1}=\frac{\varepsilon_rA_2}{A_1}=\frac{\varepsilon_rA_2}{2A_2}=\frac{\varepsilon_r}{2}=2$$

❹ 比を作るとdもε₀も消える

$$\varepsilon_r=4$$

❺ 比誘電率が確定
面積の不利を誘電率で4倍返し

面積が半分でも容量が2倍——誘電率が4倍だからです。$\frac12\times4=2$ という関係になっています。

電圧比と平行平板コンデンサの面積比から比誘電率4を求める図 — C₂/C₁＝2かつ面積比が2対1なので、εr＝4となります。

答え(a) $\varepsilon_r=4$　→　選択肢(4)

(a) の検算：各選択肢でC₁の電圧を計算する

選択肢を代入して、C₁の電圧が80 Vになるかを確かめました。直列の分圧は $V_1=V\times C_2/(C_1+C_2)$ です。

選択肢	$\varepsilon_r$	$C_2/C_1=\varepsilon_r/2$	C₁の電圧	判定
(1)	1	0.5	40.0 V	×
(2)	2	1.0	60.0 V	×
(3)	3	1.5	72.0 V	×
(4)	4	2.0	80.0 V	○ 問題文と一致
(5)	5	2.5	85.7 V	×

εr＝4のときだけ80 Vぴったりになります。この検算は解法を忘れていても正解にたどり着ける方法なので、時間に余裕があれば実行する価値があります。

(b) の解説：直列合成容量を求める

$$C_2=2C_1=2\times30=60\;[\mu\mathrm{F}]$$

❻ (a)の結果を使う

$$C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{30\times60}{90}=20\;[\mu\mathrm{F}]$$

❼ 直列合成
積÷和

直列合成は必ず一番小さい容量より小さくなります。C₁＝30 μFより小さい20 μF——妥当性の確認になります。

答え(b) 合成容量 $=20\;[\mu\mathrm{F}]$　→　選択肢(2)

検算：全体の電荷は $Q=20\;\mu\mathrm{F}\times120\;\mathrm{V}=2400\;\mu\mathrm{C}$。C₁の電圧は $2400/30=80\;\mathrm{V}$——問題文の80 Vと一致します ✓

比誘電率4と直列合成容量20マイクロファラドを3段階で求める計算図 — C₁＝30 μF、C₂＝60 μFより合成容量は20 μFです。

誤答の正体：並列と混同するか、途中の値を答えるか

選択肢	(b)の値	その値の正体	判定
(1)	10 μF	自然な計算では再現できず（散らし）	×
(2)	20 μF	$C_1C_2/(C_1+C_2)$　★正解	○
(3)	30 μF	C₁の値をそのまま答えた	×
(4)	40 μF	自然な計算では再現できず（散らし）	×
(5)	50 μF	自然な計算では再現できず（散らし）	×

並列と誤って $C_1+C_2=90\;\mu\mathrm{F}$ としても、選択肢にありません。これは出題者が「並列と間違える人はいない」と判断した——つまり直列であることは問題文から明らかだと考えているということです。

(3)の30 μFは、$C_1$ をそのまま書き写した場合です。問題文は「C₁とC₂の合成容量」と聞いているので、合成の計算が必要です。

直列と並列で「電圧の分かれ方」が逆になる

本問で使った「電圧は容量の逆比」は、抵抗の直列と比べると理解しやすいです。

	抵抗の直列	コンデンサの直列
共通になる量	電流 I	電荷 Q
電圧の分かれ方	$V=IR$ → Rに比例	$V=Q/C$ → Cに反比例
大きい電圧がかかるのは	抵抗の大きいほう	容量の小さいほう
合成	$R_1+R_2$（和）	$C_1C_2/(C_1+C_2)$（積÷和）

抵抗は「大きいほうに大きい電圧」、コンデンサは「小さいほうに大きい電圧」——逆になります。原因は $V=IR$ と $V=Q/C$ で、Cが分母にあることです。

この性質は実務でも重要で、直列に接続したコンデンサでは容量の小さいものに電圧が集中します。高圧回路でコンデンサを直列多段に使う場合、容量のばらつきが電圧の偏りを生むため、均圧抵抗を並列に入れて電圧を揃えます。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 直列の性質は「電荷が共通」「電圧は容量の逆比」の2つだけ
② 容量比を求めたら、$C=\varepsilon_0\varepsilon_rA/d$ の比を作る——共通の文字は消える
③ 面積の効果と誘電率の効果を分けて考える（本問は 1/2 × 4 ＝ 2）
④ 直列合成は必ず最小の容量より小さくなる——妥当性チェックに使える
⑤ 検算は合成容量から全体の電荷を出し、$V_1=Q/C_1$ が80 Vになるか

💡 覚え方
「直列は電荷が共通、電圧は容量の逆比」。抵抗とは逆で、容量が小さいほうに大きい電圧がかかります。$V=Q/C$ でCが分母——それだけの理由です。

⚠️ よくある間違い
電圧の比をそのまま容量の比とするのが最頻出のミスです。逆比なので $C_2=2C_1$ が正解。また面積比を考慮し忘れると $\varepsilon_r=2$ となり選択肢(2)に着地します。C₂は面積が半分という不利を背負っていることを忘れないでください。

まとめ

C₁とC₂の電圧	80V と 40V
容量比 C₂/C₁	2（＝V₁/V₂）
(a)比誘電率ε_r	4 …(4)
(b)合成容量	30×60/90＝20μF …(2)