静電界22【電験3種 理論】コンデンサの過渡現象で抵抗に消費される電気エネルギー！令和4年上期 A問題10 完全解説

今回は令和4年度上期 理論科目 A問題10を解説します。充電済みのコンデンサC₁と未充電のC₂をスイッチと抵抗Rを介して接続したとき、過渡現象が終わるまでに抵抗Rで消費される電気エネルギーを求める計算問題です。

ポイントは電荷は保存されるがエネルギーは保存されないことです。接続前後の静電エネルギーの差が、抵抗Rで熱として消費されたエネルギーになります（抵抗値によらず一定）。

令和4年度上期 理論科目 A問題10：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和4年度上期 A問題10

　図の回路において、スイッチSが開いているとき、静電容量C₁＝4mFのコンデンサには電荷Q₁＝0.3Cが蓄積されており、静電容量C₂＝2mFのコンデンサの電荷はQ₂＝0Cである。この状態でスイッチSを閉じて、それから時間が十分に経過して過渡現象が終了した。この間に抵抗R〔Ω〕で消費された電気エネルギー〔J〕の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）1.25　（2）2.50　（3）3.75　（4）5.63　（5）7.50〔J〕

出題のポイント：電荷保存とエネルギー差

スイッチを閉じると電荷はC₁からC₂へ移動しますが、2つのコンデンサの総電荷0.3 Cは保存されます。一方、静電エネルギーは減少し、その差が抵抗Rで熱として消費されます。

ポイント解説：11.25 Jを7.50 Jと3.75 Jに分ける

コンデンサを接続すると電荷は保存されますが、静電エネルギーは保存されません。減った分が抵抗Rで熱として消費されます（抵抗値によらず一定）。

接続前後の静電エネルギーをそれぞれ計算し、その差が抵抗Rの消費エネルギーです。

問題の解説：接続前後の静電エネルギーを比較

STEP1　接続前のエネルギーを求める

C₁＝4mF、Q₁＝0.3Cより、接続前のエネルギーは$$W_i=\frac{Q_1^2}{2C_1}=\frac{(0.3)^2}{2\times4\times10^{-3}}=11.25\;[\mathrm{J}]$$C₂は電荷0でエネルギー0です。

STEP2　接続後のエネルギーを求める

電荷保存よりQ＝0.3Cは一定。並列合成容量C＝C₁＋C₂＝6mF、共通電圧V＝Q/C＝0.3/(6×10^-3)＝50V。接続後のエネルギーは$$W_f=\frac12 C V^2=\frac12\times6\times10^{-3}\times50^2=7.5\;[\mathrm{J}]$$

STEP3　抵抗で消費されたエネルギーを求める

$$W_R=W_i-W_f=11.25-7.5=3.75\;[\mathrm{J}]$$

したがって、最も近いのは(3) 3.75です。抵抗値Rによらず一定である点も特徴です。

答え：(3) 3.75 J

まとめ

接続前エネルギー	Q12/2C1＝11.25J
接続後の共通電圧	0.3/6mF＝50V
接続後エネルギー	½×6mF×502＝7.5J
抵抗の消費	11.25−7.5＝3.75J …(3)

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