静電界21【電験3種理論】正三角形に置いた点電荷に働く力の比！令和4年上期 A問題2 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）令和4年度上期 A問題2 正三角形の頂点の電荷！働く力の比はいくつ？

今回は令和4年度上期理論科目 A問題2を解説します。一辺1mの正三角形の各頂点に＋1C、＋1C、-1Cの点電荷を置いたとき、正の点電荷に働く力F₁と負の点電荷に働く力F₂の比F₂/F₁を求める計算問題です。

各ペア間の力の大きさはすべて等しく（距離1m）、ベクトルとして合成します。負電荷は2つの正電荷から引かれて力が加算的に、正電荷は引力と斥力が部分的に打ち消し合います。

令和4年度上期理論科目 A問題2：問題文と選択肢

3組すべての距離も電荷も等しいので、2体間に働く力の大きさはどれも同じです。差がつくのは向きだけ——60°と120°の違いが答えを決めます。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界令和4年度上期 A問題2 問題文 — 令和4年度上期理論科目 A問題2 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和4年度上期第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題2

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】令和4年度上期 A問題2

　真空中において、図に示すように一辺の長さが1mの正三角形の各頂点に1C又は-1Cの点電荷がある。この場合、正の点電荷に働く力の大きさF₁〔N〕と、負の点電荷に働く力の大きさF₂〔N〕の比F₂/F₁の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）√2　（2）1.5　（3）√3　（4）2　（5）√5

出題のポイント：力は「大きさ」ではなく「向き」で差がつく

正三角形の3頂点に電荷を置く問題です。3組すべての距離が1 m、電荷の大きさもすべて1 Cなので、2体間に働く力の大きさはどれも同じです。

$$F=\frac{|q_1q_2|}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\frac{1\times1}{4\pi\varepsilon_0\times1^2}=k$$

❶ どのペアも同じ大きさ
距離も電荷も等しいから

では何が違うのか——向きです。同符号なら反発、異符号なら引き合う。この違いによって、合成した結果が変わります。

注目する電荷	受ける2つの力	2力のなす角	合成後の大きさ
負電荷 −1C（頂点）	両方とも引力（2つの正電荷へ引かれる）	60°	$\sqrt3\,k$
正電荷 +1C（底辺）	引力＋斥力（負電荷へ引かれ、正電荷から反発）	120°	$k$

角度が60°か120°かで結果が大きく変わります。狭い角度なら強め合い、広い角度なら打ち消し合う——これが本問の全てです。

正三角形の頂点に置いた2つの正電荷と1つの負電荷に働く引力と斥力の向きを示す図 — 負電荷には60°をなす2引力、正電荷には120°をなす引力と斥力が働きます。

120°の2力を合成すると、元の1力と同じ大きさになる

正電荷側の結果 $F_1=k$ は、一見不思議です。2つの力を受けているのに、1つ分の大きさにしかならない——なぜでしょうか。

$$|\vec{a}+\vec{b}|^2=a^2+b^2+2ab\cos\theta$$

❷ 合成のたすき掛け
余弦定理と同じ形

$$=k^2+k^2+2k^2\cos120^\circ=2k^2-k^2=k^2$$

❸ θ＝120°を代入
$\cos120^\circ=-1/2$

$$|\vec{a}+\vec{b}|=k$$

❹ 元の1力と同じ大きさ
3分の1が打ち消された

「大きさの等しい2力が120°をなすとき、合成は元の1力と同じ」——これは覚えておく価値のある性質です。3相交流のベクトル図でも同じ関係が現れます。

一方、負電荷側は60°です。同じ計算をすると $2k^2+2k^2\times\frac12=3k^2$、つまり $\sqrt3\,k$。角度が狭いぶん強め合います。

問題の解説：成分に分けて確認する

使う公式：クーロンの法則とベクトル合成

$$F=\frac{|q_1q_2|}{4\pi\varepsilon_0r^2},\qquad |\vec{F}_1+\vec{F}_2|=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta}$$

※力はベクトル。単純に足し算してはいけません。

STEP1　負電荷に働く力 F₂

頂点の−1Cは、底辺の2つの+1Cからそれぞれ引力を受けます。2力は左下向きと右下向き——水平成分が打ち消し合い、鉛直成分が加算されます。

$$F_2=2\times k\cos30^\circ=2k\times\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\,k$$

❺ 鉛直成分の和
各力の鉛直成分は $k\cos30^\circ$

STEP2　正電荷に働く力 F₁

底辺左の+1Cは、頂点の−1Cから引力（右上向き）、底辺右の+1Cから斥力（左向き）を受けます。この2力のなす角が120°です。

$$F_1=\sqrt{k^2+k^2+2k^2\cos120^\circ}=\sqrt{k^2}=k$$

❻ 120°の合成
打ち消し合って1力分

STEP3　比を求める

$$\frac{F_2}{F_1}=\frac{\sqrt3\,k}{k}=\sqrt3\approx1.73$$

❼ kが約分で消える
比なので $\varepsilon_0$ も不要

成分計算でも確認しました。座標を $A(0,0),\;B(1,0),\;C(0.5,\sqrt3/2)$ と置いて実際にベクトルを足すと、負電荷には $(0,-1.732)k$、正電荷には $(-0.5,+0.866)k$（大きさ1.000k）——手計算の結果と一致します ✓

負電荷と正電荷に働く2力の角度から合力F2とF1を求める計算図 — F₂＝√3k、F₁＝kとなる角度の違いを整理します。

答え$\dfrac{F_2}{F_1}=\sqrt3\approx1.73$　→　選択肢(3)

正三角形上の点電荷に働く力の比F2対F1をルート3と求める3段階の解説図 — F₂/F₁＝√3≒1.73なので、正答は(3)です。

誤答の正体：単純に足すと2になる

選択肢	値	その値が出る考え方	判定
(1)	$\sqrt2\approx1.41$	2力が90°をなすと誤解した場合	×
(2)	1.5	自然な計算では再現できず（散らし）	×
(3)	$\sqrt3\approx1.73$	正解：$F_2=\sqrt3k$、$F_1=k$	○
(4)	2	$F_2$ を単純に $2k$ と足し算した（角度を無視）	×
(5)	$\sqrt5\approx2.24$	自然な計算では再現できず（散らし）	×

(4)の「2」が最大の落とし穴です。「負電荷は2つの力を受けるから2倍、正電荷は打ち消して1倍、だから比は2」——大きさだけで考えると、ちょうどこの値になります。

しかし2つの引力は同じ向きではありません。60°ずれているので、単純な足し算にはなりません。$2k\cos30^\circ=\sqrt3k$ と、余弦の分だけ目減りします。

(1)の $\sqrt2$ は、2力が直交すると考えた場合の値です。正三角形の内角は60°なので直交はしません。図に角度を書き込むだけで防げるミスです。

向きを間違えないための描き方

この種の問題は矢印を正しく描けるかがすべてです。手順を決めておくと安定します。

手順	やること	本問での例
①	注目する電荷を1つ決める	まず頂点の−1C
②	他の電荷1つずつとの関係を見る	左の+1C、右の+1C
③	同符号→反発（遠ざかる向き）、異符号→引力（近づく向き）	どちらも異符号なので引力
④	矢印を実際に描き、なす角を測る	60°
⑤	対称性を使って成分に分ける	水平は打ち消し、鉛直が残る

⑤の対称性の利用が計算量を大きく減らします。負電荷は左右対称な位置にあるので、水平成分が必ず打ち消し合う——この見通しが立てば、鉛直成分だけ計算すれば済みます。

なお底辺の2つの正電荷は互いに対称なので、どちらに働く力も大きさは同じ $k$ です（向きだけが鏡像）。実際に成分計算すると $(-0.5,+0.866)k$ と $(+0.5,+0.866)k$——大きさはどちらも1.000k です。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 距離と電荷が等しければ2体間力の大きさはすべて同じ。違うのは向きだけ
② 同符号は反発、異符号は引力——矢印を実際に描く
③ 大きさの等しい2力が120°なら合成は元の1力と同じ（覚える価値あり）
④ 60°なら $\sqrt3$ 倍（$2\cos30^\circ$）
⑤ 対称な配置は片方の成分が打ち消し合う——計算量が半分になる

💡 覚え方
「60°は√3倍、120°は1倍」。大きさの等しい2力の合成は、なす角で決まります。60°→$\sqrt3$、90°→$\sqrt2$、120°→1、180°→0——この4つを覚えておけば、たいていの配置に対応できます。

⚠️ よくある間違い
力を単純に足し算するのが最頻出のミスで、選択肢(4)の「2」がそれを待ち構えています。力はベクトル——向きが違えば目減りします。また引力と斥力の区別を間違えると正電荷側の角度を60°としてしまい、$F_1=\sqrt3k$ となって比が1になります。

まとめ

各ペアの力	k（距離1mで等しい）
負電荷 F₂	√3・k（鉛直成分が加算）
正電荷 F₁	k（引力＋斥力の合成）
比 F₂/F₁	√3 …(3)