静電界37【電験3種理論】面積・距離が異なる3コンデンサを並列接続！静電エネルギーの総和は何倍？平成29年 A問題2 完全解説

2026年7月11日2026年7月20日

今回は平成29年度理論科目 A問題2を解説します。極板面積・極板間距離が異なる3つの平行板コンデンサA・B・Cを、電界が同じになるように充電してから電源を切り離し、同じ極性で並列接続したとき、静電エネルギーの総和が接続前の何倍になるかを求める計算問題です。

ポイントは同極性側の総電荷の保存です。各コンデンサの容量C＝εS/dと、電界一定の条件から電圧V＝Edを求めます。同じ極性どうしを接続した後は、正極板側と負極板側の各導体群で総電荷が保存されます。正極板側の総電荷Qと合成容量Cから共通電圧V’＝Q/C、静電エネルギーW＝Q²/(2C)を求めます。

平成29年度理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目静電界平成29年度 A問題2 問題文 — 平成29年度理論科目 A問題2 問題文

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成29年度 A問題2

　極板の面積S〔m²〕、極板間の距離d〔m〕の平行板コンデンサA、極板の面積2S〔m²〕、極板間の距離d〔m〕の平行板コンデンサB及び極板の面積S〔m²〕、極板間の距離2d〔m〕の平行板コンデンサCがある。各コンデンサは、極板間の電界の強さが同じ値となるようにそれぞれ直流電源で充電されている。各コンデンサをそれぞれの直流電源から切り離した後、全コンデンサを同じ極性で並列に接続し、十分時間が経ったとき、各コンデンサに蓄えられる静電エネルギーの総和〔J〕は、並列に接続する前の総和〔J〕の何倍になるか。その倍率として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、各コンデンサの極板間の誘電率は同一であり、端効果は無視できるものとする。

（1）0.77　（2）0.91　（3）1.00　（4）1.09　（5）1.31

出題のポイント：同じ電界でも距離が2倍なら電圧も2倍

同じ電界で充電した3個の平行板コンデンサの容量比、電圧比、電荷比を整理した図 — 電界が同じでも、極板間距離が2dのコンデンサCだけ電圧が2倍になります。

C₀＝εS/d、u＝Edと置くと、容量比はCA：CB：CC＝1：2：1/2、電圧比はVA：VB：VC＝1：1：2です。したがって正極板側の電荷はそれぞれC₀u、2C₀u、C₀uとなります。同じ極性どうしを並列接続した後は、この総電荷4C₀uを合成容量7C₀/2で分け直します。

ポイント解説：同極性側の総電荷を保存して共通電圧を求める

3個のコンデンサを同じ極性で並列接続し正極板側と負極板側の総電荷がそれぞれ保存されることを示す図 — 同極性側の総電荷4C₀uと合成容量7C₀/2から、共通電圧は8u/7です。

各コンデンサの容量はC＝εS/dで求まります。電界が同じという条件から電圧V＝Edを求め、接続前の電荷とエネルギーを計算します。

電源から切り離し、同じ極性どうしを並列接続すると、正極板側と負極板側の各導体群で総電荷が保存されます。正極板側の総電荷をQ、並列合成容量をCとすれば、接続後の共通電圧はV’＝Q/C、静電エネルギーはW＝Q²/(2C)です。

問題の解説：接続後のエネルギー比32/35を導く

接続前後の静電エネルギーを比較して比32毎35を求める計算手順図 — 接続後と接続前のエネルギー比は32/35≒0.914となり、正答は（2）です。

STEP1　各コンデンサの容量と電圧を求める

C＝εS/dより、基準をC₀＝εS/dとすると、$$C_A=\frac{\varepsilon S}{d}=C_0,\quad C_B=\frac{\varepsilon\cdot2S}{d}=2C_0,\quad C_C=\frac{\varepsilon S}{2d}=\frac{C_0}{2}$$

電界Eが共通なので電圧V＝Ed。u＝Edとおくと、$$V_A=Ed=u,\quad V_B=Ed=u,\quad V_C=E\cdot2d=2u$$

STEP2　接続前の電荷と総エネルギーを求める

電荷Q＝CVより、正極板側の電荷はQ_A＝C₀u、Q_B＝2C₀u、Q_C＝(C₀/2)(2u)＝C₀uです。同じ極性側に接続される極板の総電荷は、$$Q=C_0u+2C_0u+C_0u=4C_0u$$となります。

接続前のエネルギーの総和は、$$W_1=\tfrac12 C_0u^2+\tfrac12(2C_0)u^2+\tfrac12\left(\tfrac{C_0}{2}\right)(2u)^2=2.5\,C_0u^2$$

STEP3　並列接続後のエネルギーと倍率を求める

並列合成容量はC＝C₀＋2C₀＋C₀/2＝(7/2)C₀です。正極板側の総電荷4C₀uが保存されるので、共通電圧は$$V’=\frac{4C_0u}{(7/2)C_0}=\frac87u$$接続後の静電エネルギーは、$$W_2=\frac{Q^2}{2C}=\frac{(4C_0u)^2}{2\cdot(7/2)C_0}=\frac{16}{7}C_0u^2$$です。

倍率は$$\frac{W_2}{W_1}=\frac{16/7}{5/2}=\frac{32}{35}\approx0.914$$したがって、最も近い選択肢は(2)です。

答え：(2)（約0.91倍）

💡 覚え方
容量C＝εS/d、電界一定ならV＝Ed。同極性の並列接続では、各極性側の総電荷を保存して共通電圧を求めます。接続前後の電圧が異なる場合、静電エネルギーの減少分は実際の過渡過程でジュール熱や電磁放射などへ移ります。

⚠️ よくある間違い
電圧が同じと早合点しないこと。電界一定なので厚さ2dのCだけ電圧が2倍。接続後は電荷保存でエネルギーを計算します。

まとめ

容量	C_A:C_B:C_C＝1:2:0.5（×C₀）
電圧	V_A＝V_B＝u、V_C＝2u
接続前W₁	2.5 C₀u²
接続後W₂	16/7 C₀u²≒2.29
倍率	≒0.91 …(2)