静電界42【電験3種 理論】平行板コンデンサの静電容量・電界・静電エネルギー・静電力を求める！平成27年 A問題2 完全解説

今回は平成27年度 理論科目 A問題2を解説します。真空中で面積A・間隔lの平行板コンデンサに電荷Qを充電し、電源を外した状態について、（ア）静電容量、（イ）電界、（ウ）静電エネルギー、（エ）極板間に働く力の向きを求める空欄補充問題です。

電源を外した後は電荷Qが一定です。C＝ε₀A/l、E＝Q/(ε₀A)、W＝Q²/(2C)＝Q²l/(2ε₀A)となります。間隔lを広げるには外力の仕事が必要なので、静電力は極板を近づける向き、すなわち引力です。

平成27年度 理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成27年度 A問題2

　図のように、真空中で2枚の電極を平行に向かい合わせたコンデンサを考える。各電極の面積をA〔m²〕、電極の間隔をl〔m〕とし、端効果を無視すると、静電容量は（ア）〔F〕である。このコンデンサに直流電圧源を接続し、電荷Q〔C〕を充電してから電圧源を外した。このとき、電極間の電界E＝（イ）〔V/m〕によって静電エネルギーW＝（ウ）〔J〕が蓄えられている。この状態で電極間隔を増大させると静電エネルギーも増大することから、二つの電極間には静電力の（エ）が働くことが分かる。ただし、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。

上記の記述中の空白箇所（ア）、（イ）、（ウ）及び（エ）に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	ε0A/l	Ql/(ε0A)	Q2l/(ε0A)	引力
(2)	ε0A/l	Q/(ε0A)	Q2l/(2ε0A)	引力
(3)	A/(ε0l)	Ql/(ε0A)	Q2l/(2ε0A)	斥力
(4)	A/(ε0l)	Q/(ε0A)	Q2l/(ε0A)	斥力
(5)	ε0A/l	Q/(ε0A)	Q2l/(2ε0A)	斥力

出題のポイント：電源を外した後は電荷Qが一定

電圧源を外した後は極板の電荷Qが一定です。静電容量はC＝ε₀A/l、電界はE＝Q/(ε₀A)、静電エネルギーはW＝Q²/(2C)＝Q²l/(2ε₀A)です。間隔lを広げるとエネルギーが増えるため、極板を離すには外力の仕事が必要であり、静電力は引力と分かります。

ポイント解説：C・E・Wを電荷一定条件でつなぐ

電源切離し後はQ一定です。静電容量C＝ε₀A/l、面電荷密度σ＝Q/A、極板間の合成電界E＝σ/ε₀＝Q/(ε₀A)、静電エネルギーW＝Q²/(2C)を順に使います。

Q一定ではW＝Q²l/(2ε₀A)なので、電極間隔lを広げるとエネルギーが増加します。増加分は極板を引き離す外力の仕事であり、静電力はその反対向きに働くため引力です。

問題の解説：エネルギー増加から引力を判定する

STEP1　（ア）静電容量と（イ）電界を求める

面電荷密度はσ＝Q/Aです。各極板が単独で作る電界はσ/(2ε₀)で、極板間では同じ向きに加わります。したがって、$$C=\frac{\varepsilon_0 A}{l}\;[\mathrm{F}],\qquad E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}\;[\mathrm{V/m}]$$となります。

STEP2　（ウ）静電エネルギーを求める

電源を外した後はQが一定なので、エネルギー式W＝Q²/(2C)を使います。$$W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2}\cdot\frac{l}{\varepsilon_0 A}=\frac{Q^2 l}{2\varepsilon_0 A}\;[\mathrm{J}]$$

STEP3　（エ）力の向きと組合せ

QとAを一定にして間隔lを増やすと、Wはlに比例して増加します。準静的に極板を離すために必要な外力の大きさは$$F_{\mathrm{ext}}=\frac{dW}{dl}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 A}$$です。静電力は外力と反対向き、つまり極板を近づける引力です。したがって、組合せは(2)です。

答え：(2)（（ア）ε₀A/l、（イ）Q/(ε₀A)、（ウ）Q²l/(2ε₀A)、（エ）引力）

まとめ

(ア)容量	C＝ε0A/l
(イ)電界	E＝Q/(ε0A)
(ウ)エネルギー	W＝Q2l/(2ε0A)
(エ)力／答	引力、答(2)

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