今回は平成23年度 理論科目 A問題2を解説します。1000Vで充電した8μFの平行板コンデンサを電源から外し、電荷を保持したまま極板間距離を1/2に縮めたときの、静電容量とエネルギーの組合せを求める問題です。
電源から外した後は電荷Q＝8mCが一定です。極板面積と誘電率が変わらず端効果を無視すると、極板間距離を1/2にしたときC＝εA/dより静電容量は2倍の16μFになります。Q＝CVより電圧は1000Vから500Vへ半分になり、W＝Q2/(2C)より静電エネルギーも4Jから2Jへ半分になります。
平成23年度 理論科目 A問題2：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成23年度 A問題2
直流電圧1000〔V〕の電源で充電された静電容量8〔μF〕の平行平板コンデンサがある。コンデンサを電源から外した後に電荷を保持したままコンデンサの電極間距離を最初の距離の1/2に縮めたとき、静電容量〔μF〕と静電エネルギー〔J〕の値の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
静電容量 静電エネルギー (1) 16 4 (2) 16 2 (3) 16 8 (4) 4 4 (5) 4 2
出題のポイント：電源切離し後はQ一定
電源から外し、問題文どおり電荷を保持するのでQは一定です。極板面積と誘電率が変わらず端効果を無視すると、C＝εA/dより極板間距離dを半分にすればCは2倍になります。Q＝CVより電圧は半分、W＝Q²/(2C)より静電エネルギーも半分です。
ポイント解説：dを半分にするとCは2倍、VとWは半分
電源から外し、問題文どおり電荷を保持するので自由電荷Qは一定です。極板面積Aと誘電率εが変わらず端効果を無視すると、d′＝d/2よりC′＝εA/d′＝2Cとなり、静電容量は2倍になります。
Q＝CVより、Q一定でCが2倍になれば電圧Vは半分です。したがってE＝V/dは、Vとdがともに半分になるため変わりません。静電エネルギーはW＝Q2/(2C)なので、Cが2倍になると半分になります。
問題の解説：16 μF・2 Jを二通りで確認する
STEP1 初期の電荷を求める
初期の静電容量は8μF、電圧は1000Vなので、$$Q=CV=8\times10^{-6}\times1000=8\times10^{-3}\;[\mathrm{C}]=8\;[\mathrm{mC}]$$です。電源切離し後はこのQが一定です。初期エネルギーは、$$W_0=\frac12CV^2=\frac12\times8\times10^{-6}\times1000^2=4\;[\mathrm{J}]$$です。
STEP2 距離1/2で静電容量を求める
極板間距離d→d/2で、極板面積Aと誘電率εは変わらないため、$$C’=\frac{\varepsilon A}{d/2}=2C=16\;[\mu\mathrm{F}]$$となります。さらにQ一定なので、$$V’=\frac{Q}{C’}=\frac{8\times10^{-3}}{16\times10^{-6}}=500\;[\mathrm{V}]$$です。
STEP3 静電エネルギーを求める
電荷一定なので、$$W’=\frac{Q^2}{2C’}=\frac{(8\times10^{-3})^2}{2\times16\times10^{-6}}=2\;[\mathrm{J}]$$となります。別の式で確認しても、W′＝(1/2)C′V′2＝(1/2)×16μF×(500V)2＝2Jです。初期の4Jから2Jへ減少し、準静的に極板を近づける場合、その差は機械的仕事として外部へ移ります。したがって静電容量16μF・エネルギー2Jの(2)です。
答え：(2)（静電容量16μF・静電エネルギー2J）
💡 覚え方
電源を外す＝Q一定です。dを1/2にするとCは2倍、V＝Q/CでVは1/2、W＝Q2/(2C)でWも1/2になります。この条件ではE＝V/dは変わりません。
⚠️ よくある間違い
電源接続中のV一定と混同しないこと。本問は電源を外して電荷を保持するためQ一定です。また、dとVがともに1/2になるので、電界E＝V/dは変化しません。
まとめ
| 電荷 | Q＝8×10−3C＝8mC（一定） |
| 容量 | d′＝d/2 → C′＝2C＝16μF |
| 電圧・電界 | V′＝500V、E′＝E |
| エネルギー | W0＝4J → W′＝2J |
| 答え | (2) 静電容量16μF・静電エネルギー2J |
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