今回は平成20年度 理論科目 A問題2を解説します。平行板コンデンサに蓄えられるエネルギーW〔J〕を、誘電率ε・誘電体の体積V・電界の大きさEで表したとき、それぞれ何乗に比例（反比例）するかを答える空欄補充問題です。
線形誘電体中の静電エネルギー密度はu＝½εE2です。一様電界をもつ平行板コンデンサでは、全エネルギーはW＝uV＝½εE2Vとなります。この式を他の二つの変数を一定として読むと、εの1乗、体積Vの1乗、電界Eの2乗に比例します。
平成20年度 理論科目 A問題2：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成20年度 A問題2
極板間に誘電率ε〔F/m〕の誘電体をはさんだ平行板コンデンサがある。このコンデンサに電圧を加えたとき、蓄えられるエネルギーW〔J〕を誘電率ε〔F/m〕、極板間の誘電体の体積V〔m3〕、極板間の電界の大きさE〔V/m〕で表現すると、W〔J〕は、誘電率ε〔F/m〕の（ア）に比例し、体積V〔m3〕に（イ）し、電界の大きさE〔V/m〕の（ウ）に比例する。
W〔J〕は誘電率εの（ア）に比例し、体積Vに（イ）し、電界の大きさEの（ウ）に比例する。当てはまる組合せを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（ア） （イ） （ウ） (1) 1乗 反比例 1乗 (2) 1乗 比例 1乗 (3) 2乗 反比例 1乗 (4) 1乗 比例 2乗 (5) 2乗 比例 2乗
出題のポイント：u＝½εE²に体積Vを掛ける
線形誘電体中ではD＝εEなので、電界のエネルギー密度はu＝½E・D＝½εE2です。平行板間の電界を一様とすると、誘電体の体積V全体に蓄えられるエネルギーはW＝uV＝½εE2Vとなります。本問ではこの式を、他の二つの変数を一定として読み、εの1乗、Vの1乗、Eの2乗に比例すると判定します。
ポイント解説：エネルギー密度からW＝½εE²Vを導く
線形で等方的な誘電体では、電束密度D＝εEです。したがって単位体積当たりの静電エネルギーは、u＝½E・D＝½εE2となります。極板間の電界を一様とすると、誘電体の体積V全体に蓄えられるエネルギーはW＝uV＝½εE2Vです。
本問はWをε、V、Eで表した式の指数を読む問題です。他の二つの量を一定として見れば、εをk倍にするとWはk倍、Vをk倍にするとWはk倍、Eをk倍にするとWはk2倍になります。なお、実際に誘電率を変える場合は、電圧一定か電荷一定かによってEも変わり得るため、条件を区別する必要があります。
問題の解説：ε・V・Eの指数を読み取り(4)を選ぶ
STEP1 エネルギー密度を書く
線形誘電体ではD＝εEなので、電界のエネルギー密度は$$u=\frac{1}{2}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D}=\frac{1}{2}\varepsilon E^2\;[\mathrm{J/m^3}]$$です。Eは電界の大きさなので、E2は負になりません。
STEP2 全エネルギーを求める
極板面積をS、極板間隔をd、印加電圧を小文字vとすると、C＝εS/d、v＝Ed、誘電体の体積はV＝Sdです。したがって、$$W=\frac{1}{2}Cv^2=\frac{1}{2}\frac{\varepsilon S}{d}(Ed)^2=\frac{1}{2}\varepsilon E^2Sd=\frac{1}{2}\varepsilon E^2V$$となります。これはエネルギー密度uに体積Vを掛ける方法と一致します。
STEP3 各量への依存を読む
W＝½εE2Vより、εの指数は1、体積Vの指数も1、電界Eの指数は2です。したがって（ア）は1乗、（イ）は比例、（ウ）は2乗となり、正しい組合せは(4)です。
答え：(4)（（ア）1乗、（イ）比例、（ウ）2乗）
💡 覚え方
密度u＝½εE2、全体W＝密度×体積です。したがってW＝½εE2Vとなり、εとVは1乗、Eだけが2乗です。
⚠️ よくある間違い
本問の大文字Vは体積です。一般式W＝½Cv2で使う電圧は小文字vと区別すると安全です。また、「Wはεに比例」はWをε・V・Eの関数として他の二量を一定にした読み方であり、電荷一定など別の拘束条件へ無条件に適用しないでください。
まとめ
| 量 | Wの依存 | 空欄 |
| 誘電率ε | W∝ε1 | （ア）1乗 |
| 誘電体の体積V | W∝V1 | （イ）比例 |
| 電界の大きさE | W∝E2 | （ウ）2乗 |
| 答え | (4) | |
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