静電界62【電験3種理論】平行板コンデンサに蓄えられるエネルギーは誘電率・体積・電界の何乗に比例？平成20年 A問題2 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成20年度 A問題2 エネルギーは電界の何乗？誘電率と体積で決まる式を導く

今回は平成20年度理論科目 A問題2を解説します。平行板コンデンサに蓄えられるエネルギーW〔J〕を、誘電率ε・誘電体の体積V・電界の大きさEで表したとき、それぞれ何乗に比例（反比例）するかを答える空欄補充問題です。

線形誘電体中の静電エネルギー密度はu＝½εE²です。一様電界をもつ平行板コンデンサでは、全エネルギーはW＝uV＝½εE²Vとなります。この式を他の二つの変数を一定として読むと、εの1乗、体積Vの1乗、電界Eの2乗に比例します。

平成20年度理論科目 A問題2：問題文と選択肢

エネルギーを ε・体積・電界で表す問題です。「エネルギー密度 × 体積」と考えれば、あとは指数を読むだけです。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成20年度 A問題2 問題文 — 平成20年度理論科目 A問題2 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成20年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題2

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成20年度 A問題2

　極板間に誘電率ε〔F/m〕の誘電体をはさんだ平行板コンデンサがある。このコンデンサに電圧を加えたとき、蓄えられるエネルギーW〔J〕を誘電率ε〔F/m〕、極板間の誘電体の体積V〔m³〕、極板間の電界の大きさE〔V/m〕で表現すると、W〔J〕は、誘電率ε〔F/m〕の（ア）に比例し、体積V〔m³〕に（イ）し、電界の大きさE〔V/m〕の（ウ）に比例する。

W〔J〕は誘電率εの（ア）に比例し、体積Vに（イ）し、電界の大きさEの（ウ）に比例する。当てはまる組合せを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（ア）（イ）（ウ）
(1) 1乗反比例 1乗
(2) 1乗比例 1乗
(3) 2乗反比例 1乗
(4) 1乗比例 2乗
(5) 2乗比例 2乗

	（ア）	（イ）	（ウ）
(1)	1乗	反比例	1乗
(2)	1乗	比例	1乗
(3)	2乗	反比例	1乗
(4)	1乗	比例	2乗
(5)	2乗	比例	2乗

出題のポイント：エネルギー密度に体積を掛けるだけ

エネルギーを $\varepsilon$・体積 $V$・電界 $E$ で表す問題です。「単位体積あたりのエネルギー×体積」と考えると一直線に進みます。

静電エネルギー密度と全エネルギー

$$u=\frac12\vec{E}\cdot\vec{D}=\frac12\varepsilon E^2\;[\mathrm{J/m^3}],\qquad W=uV=\frac12\varepsilon E^2V\;[\mathrm{J}]$$

※一様電界なら「密度×体積」でよい。平行板コンデンサの内部は一様電界です。

この式さえ書ければ、あとは指数を読むだけです。

量	式のどこにあるか	他を一定にしてk倍すると	答え
誘電率 $\varepsilon$	1乗	$W$ は $k$ 倍	1乗に比例
体積 $V$	1乗	$W$ は $k$ 倍	比例
電界 $E$	2乗	$W$ は $k^2$ 倍	2乗に比例

一様な電界をもつ平行板コンデンサでエネルギー密度と誘電体体積から全エネルギーを求める断面図 — 一様電界ではu＝½εE²で、誘電体の体積Vを掛けるとW＝½εE²Vです。

エネルギー密度の式はどこから来るのか

$u=\frac12\varepsilon E^2$ を丸暗記する必要はありません。おなじみの $W=\frac12CV^2$ から導けます。

$$C=\frac{\varepsilon S}{d},\qquad v=Ed,\qquad V_{\text{体積}}=Sd$$

❶ 平行板の各量
S＝極板面積、d＝間隔

$$W=\frac12Cv^2=\frac12\cdot\frac{\varepsilon S}{d}\cdot(Ed)^2$$

❷ 代入

$$=\frac12\varepsilon SE^2d=\frac12\varepsilon E^2(Sd)=\frac12\varepsilon E^2V_{\text{体積}}$$

❸ 整理
$Sd$ が体積になる

$d$ がきれいに整理されて $Sd$（体積）に化けます。だから「コンデンサのエネルギー」と「電界のエネルギー密度」は同じことを別の見方で言っているだけ——2つの公式は独立ではありません。

エネルギー密度で考える利点は、コンデンサ以外にも使えることです。電界がある空間なら、形状によらず $\frac12\varepsilon E^2$ のエネルギーが詰まっています。「エネルギーは電界そのものが持っている」という見方につながります。

問題の解説：指数を読み取る

STEP1　式を書く

$$W=\frac12\varepsilon E^2V$$

❹ これが全て
$\varepsilon^1$、$V^1$、$E^2$

STEP2　各変数の指数を読む

「他の2つを一定として」という前提で読みます。

空欄	問い	答え
（ア）	$\varepsilon$ の何乗に比例するか	1乗
（イ）	体積 $V$ に比例か反比例か	比例
（ウ）	$E$ の何乗に比例するか	2乗

エネルギー密度による方法と静電容量による方法の二通りからWイコール2分の1εE二乗Vを導く関係図 — uVからも、C＝εS/d・v＝Ed・V＝Sdからも、W＝½εE²Vが得られます。

答え（ア）1乗、（イ）比例、（ウ）2乗　→　選択肢(4)

静電エネルギーWの誘電率・体積・電界に対する比例関係を示す三つのグラフと正答表 — 他の量を一定にすると、Wはεと体積Vの1乗、電界Eの2乗に比例するため答えは(4)です。

誤答の正体：反比例の選択肢は物理的にありえない

選択肢	（ア）	（イ）	（ウ）	問題点	判定
(1)	1乗	反比例 ×	1乗 ×	体積が増えてエネルギーが減るはずがない	×
(2)	1乗 ○	比例 ○	1乗 ×	Eは2乗で効く	×
(3)	2乗 ×	反比例 ×	1乗 ×	3つとも誤り	×
(4)	1乗	比例	2乗	正解	○
(5)	2乗 ×	比例 ○	2乗 ○	$\varepsilon$ は1乗	×

（イ）で「反比例」とする(1)(3)は、考えるまでもなく消せます。体積が大きくなればエネルギーも増える——同じ電界を広い空間に作るには、それだけエネルギーが要ります。物理的な常識で2つ落とせるのは大きいです。

(5)は $\varepsilon$ を2乗にしています。$u=\frac12\varepsilon E^2$ で2乗が付いているのはEだけ——$\varepsilon$ は1乗です。「2乗が2か所ある」形と混同しないでください。

(2)はEを1乗にしています。$W=\frac12CV^2$ の $V^2$ を思い出せば、電圧（＝電界×距離）が2乗で効くことは自然に出てきます。

誘電率を変えると電界も変わる点に注意

本問は「他の2つを一定として」指数を読む問題ですが、実際に誘電体を入れ替える場合は話が変わります。

条件	$\varepsilon$ を2倍にすると	$W=\frac12\varepsilon E^2V$ は
本問（Eを一定と仮定）	Eは変わらない	2倍
電圧一定	$E=V/d$ は不変	2倍（本問と同じ）
電荷一定	$E=Q/(\varepsilon S)$ が半分	半分（逆になる）

電荷一定なら結論が逆転します。$\varepsilon$ が2倍でも $E$ が半分になるので、$\varepsilon E^2$ は $2\times(1/2)^2=1/2$ 倍——エネルギーは減ります。

本問は「式の指数を読む」問題なので、この区別は問われていません。しかし「誘電体を入れるとエネルギーはどうなるか」と聞かれたら、条件の確認が必須です。混同しないよう整理しておきましょう。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① $u=\frac12\varepsilon E^2$ を覚える。全エネルギーは密度×体積
② 忘れたら$W=\frac12Cv^2$ から導ける（$C=\varepsilon S/d$、$v=Ed$）
③ 2乗が付くのはEだけ。$\varepsilon$ と体積は1乗
④ 「体積に反比例」の選択肢は即消去（物理的にありえない）
⑤ 「実際に誘電体を替える」問題なら電圧一定か電荷一定かを確認

💡 覚え方
「密度は½εE²、全部は掛ける体積」。$W=\frac12Cv^2$ と同じ内容を、空間の視点で書き直したものです。2乗が付くのは電界だけ——$\varepsilon$ は1乗です。

⚠️ よくある間違い
$\varepsilon$ を2乗にするのが選択肢(3)(5)の狙いです。$\frac12\varepsilon E^2$ で2乗なのはEのみ。また「体積に反比例」という選択肢は、体積が増えればエネルギーも増えるという常識で即座に消せます。