静電界66【電験3種理論】半径6.37×10⁶mの巨大な導体球の静電容量を求める！平成18年 A問題1 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成18年度 A問題1 半径6370kmの導体球！静電容量は何μF？

今回は平成18年度理論科目 A問題1を解説します。真空中に半径6.37×10⁶m（地球とほぼ同じ大きさ）の導体球があるとき、その静電容量〔F〕を求める計算問題です。

真空中の孤立導体球について、無限遠を電位0とすると、球表面の電位はV＝Q/(4πε₀R)です。静電容量の定義C＝Q/VからC＝4πε₀Rとなり、半径に比例します。半径6.37×10⁶mでも約7.08×10^-4F、すなわち0.708mFです。

平成18年度理論科目 A問題1：問題文と選択肢

「コンデンサ＝2枚の電極」というイメージだと戸惑いますが、球1つにも静電容量があります。相手は無限遠——だから半径だけで決まります。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成18年度 A問題1 問題文 — 平成18年度理論科目 A問題1 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成18年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題1

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成18年度 A問題1

　真空中に半径6.37×10⁶〔m〕の導体球がある。これの静電容量〔F〕の値として、最も近いのは次のうちどれか。ただし、真空の誘電率をε₀＝8.85×10^-12〔F/m〕とする。

（1）7.08×10^-4　（2）4.45×10^-3　（3）4.51×10³　（4）5.67×10⁴　（5）1.78×10⁵

出題のポイント：孤立導体球の静電容量は半径だけで決まる

「コンデンサ＝2枚の電極」というイメージが強いと、球1つに静電容量があることに戸惑います。しかし電荷を蓄えて電位が上がるものには、すべて静電容量があります。

孤立導体球の静電容量

$$C=4\pi\varepsilon_0R\;[\mathrm{F}]\qquad(4\pi\varepsilon_0\approx1.11\times10^{-10})$$

※半径 R に比例するだけ。相手の電極は無限遠にあると考えます。

	孤立導体球（本問）	平行平板コンデンサ
公式	$C=4\pi\varepsilon_0R$	$C=\varepsilon S/d$
相手の電極	無限遠（存在しない）	対向する板
決まるもの	半径だけ	面積と間隔
寸法の効き方	1乗	面積は2乗、間隔は反比例

電荷Qを帯びた半径Rの孤立導体球と球外の放射状電界および無限遠を電位0とする基準を示す図 — 無限遠を電位0とすると、球表面電位はQ/(4πε₀R)となり、静電容量は4πε₀Rです。

公式を導いてみる——覚えていなくても作れる

この公式は電界の積分から3行で導けます。丸暗記が不安なら、導き方を押さえておくと安心です。

$$E(\rho)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}\quad(\rho\ge R)$$

❶ 球外の電界
ガウスの法則から。点電荷と同じ形

$$V(R)=\int_R^{\infty}E(\rho)\,d\rho=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}$$

❷ 無限遠を0として積分
$1/\rho^2$ の積分は $-1/\rho$

$$C=\frac{Q}{V}=4\pi\varepsilon_0R$$

❸ 定義に代入
Qが約分で消える

❸でQが消えるのがポイントです。静電容量は「どれだけ電荷を与えたか」によらず、形だけで決まる量——だから「容量」と呼ばれます。

「無限遠を電位0とする」という約束も重要です。孤立した導体には対向電極がないので、基準を無限遠に置くことで電位が定義できます。だから「相手の電極は無限遠」という言い方になります。

問題の解説：代入するだけ

STEP1　$4\pi\varepsilon_0$ を先に計算する

$$4\pi\varepsilon_0=4\pi\times8.85\times10^{-12}=1.112\times10^{-10}$$

❹ 定数をまとめる
1.11×10⁻¹⁰ と覚えておくと速い

この値は覚える価値が高いです。クーロンの法則の $1/(4\pi\varepsilon_0)=9.0\times10^9$ と対で押さえておくと、静電界の計算が速くなります。

STEP2　半径を代入する

$$C=1.112\times10^{-10}\times6.37\times10^{6}$$

❺ 代入
指数は $-10+6=-4$

$$=7.08\times10^{-4}\;[\mathrm{F}]$$

❻ 計算
係数は $1.112\times6.37=7.08$

指数の足し算で暗算できます。$10^{-10}\times10^{6}=10^{-4}$、係数は $1.11\times6.37\approx7.1$——選択肢の桁を見れば、この時点で答えが決まります。

孤立導体球の球外電界を半径Rから無限遠まで積分して表面電位と静電容量を導く図 — 球外電界をRから無限遠まで積分してV＝Q/(4πε₀R)を求め、C＝Q/VからC＝4πε₀Rを導きます。

答え$C\approx7.08\times10^{-4}\;[\mathrm{F}]$　→　選択肢(1)

半径6.37掛ける10の6乗メートルと真空の誘電率から孤立導体球の静電容量7.08掛ける10のマイナス4乗ファラドを求める計算図 — C＝4π×8.85×10⁻¹²×6.37×10⁶≒7.08×10⁻⁴Fなので、正解は(1)です。

誤答の正体：半径を2乗すると7桁ずれる

選択肢	値 [F]	その値が出る計算	判定
(1)	7.08×10⁻⁴	$4\pi\varepsilon_0R$　★正解	○
(2)	4.45×10⁻³	正解の $2\pi$ 倍。自然な取り違えでは再現できず	×
(3)	4.51×10³	$4\pi\varepsilon_0R^2=\varepsilon_0\times(\text{球の表面積})$	×
(4)	5.67×10⁴	自然な取り違えでは再現できず（散らし）	×
(5)	1.78×10⁵	自然な取り違えでは再現できず（散らし）	×

(3)は明確な意味を持つ誤答です。$4\pi R^2$ は球の表面積なので、$\varepsilon_0\times4\pi R^2$ は平行平板の公式 $C=\varepsilon S/d$ に球の表面積を入れ、$d=1$ としたものに相当します。「コンデンサといえば $\varepsilon S/d$」という反射で解くと、ここに着地します。

半径を2乗するかどうかで、答えは $6.37\times10^6$ 倍も変わります。$7.08\times10^{-4}$ と $4.51\times10^3$——実に7桁の差です。逆に言えば、公式に $R$ が1乗で入るのか2乗で入るのかは、桁を見れば分かるということでもあります。

桁の感覚：地球サイズでも1 mFに満たない

この半径 $6.37\times10^6\;\mathrm{m}$ は地球の半径とほぼ同じです。それでも静電容量は約708 μF——市販の電解コンデンサ1個程度しかありません。

導体球	半径	静電容量
地球サイズ（本問）	6.37×10⁶ m	7.08×10⁻⁴ F（708 μF）
半径1 mの球	1 m	1.11×10⁻¹⁰ F（111 pF）
半径1 cmの球	0.01 m	1.11×10⁻¹² F（1.11 pF）

孤立導体の静電容量はきわめて小さい——これが実感できると、なぜ実際のコンデンサが「薄い誘電体を挟んで2枚の電極を極端に近づける」構造をとるのかが分かります。

$$C=\frac{\varepsilon S}{d}$$

❼ 平行平板
dを小さくするほど容量が増える

平行平板なら間隔dを小さくすれば容量をいくらでも大きくできます。数μmの誘電体を挟めば、手のひらサイズで数千μFが実現できる——孤立球の111 pF/mとは比較になりません。「近づけること」が容量を稼ぐ鍵なのです。

この問題は過去問と完全に同じ内容で再出題されています

本問は令和6年度下期理論科目 A問題2と同一の問題です。半径・誘電率・5つの選択肢の数値も正答(1)も同一で、再出題版は「地球を導体球と見なす」という枠づけが付いているだけです。

電験3種では数年おきに同じ問題がそのまま再出題されます。特に「孤立導体球の静電容量」という定番テーマは繰り返し問われるため、過去問演習の効果が非常に高い分野です。

ただし選択肢の番号で覚えるのは危険です。再出題の際に並び順が変わることもあります。解き方の手順ごと身につけてください。

あわせて解いておきたい記事：令和6年度下期理論科目 A問題2

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 孤立導体球は $C=4\pi\varepsilon_0R$（半径の1乗）。平行平板の $\varepsilon S/d$ と混同しない
② $4\pi\varepsilon_0\approx1.11\times10^{-10}$ を覚えておくと代入が一瞬
③ 対で $1/(4\pi\varepsilon_0)\approx9.0\times10^9$（クーロンの法則）も押さえる
④ 指数だけ先に計算して桁を出す（$10^{-10}\times10^{6}=10^{-4}$）
⑤ 公式を忘れたら$V=Q/(4\pi\varepsilon_0R)$ から $C=Q/V$ で導ける

💡 覚え方
「孤立球はR（1乗）、平板はS/d」。孤立球の相手は無限遠なので、寸法は半径だけ。$4\pi\varepsilon_0\approx1.11\times10^{-10}$ とセットで暗記すれば、代入して指数を足すだけで答えが出ます。

⚠️ よくある間違い
平行平板の $C=\varepsilon S/d$ を持ち出すのが最頻出のミスで、球の表面積 $4\pi R^2$ を代入すると選択肢(3)に着地します。孤立球には対向電極も間隔dも存在しません。また半径を2乗すると7桁ずれるので、桁が大きく違う選択肢を選んだら公式を疑ってください。

まとめ

基準	真空中の孤立球、無限遠でV＝0
球表面電位	V＝Q/(4πε₀R)
静電容量	C＝Q/V＝4πε₀R
半径	R＝6.37×10⁶m
計算結果	C≒7.08×10^-4F＝0.708mF → (1)