静電界66【電験3種 理論】半径6.37×10⁶mの巨大な導体球の静電容量を求める！平成18年 A問題1 完全解説

今回は平成18年度 理論科目 A問題1を解説します。真空中に半径6.37×10⁶m（地球とほぼ同じ大きさ）の導体球があるとき、その静電容量〔F〕を求める計算問題です。

真空中の孤立導体球について、無限遠を電位0とすると、球表面の電位はV＝Q/(4πε₀R)です。静電容量の定義C＝Q/VからC＝4πε₀Rとなり、半径に比例します。半径6.37×10⁶mでも約7.08×10^-4F、すなわち0.708mFです。

平成18年度 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成18年度 A問題1

　真空中に半径6.37×10⁶〔m〕の導体球がある。これの静電容量〔F〕の値として、最も近いのは次のうちどれか。ただし、真空の誘電率をε₀＝8.85×10^-12〔F/m〕とする。

（1）7.08×10^-4　（2）4.45×10^-3　（3）4.51×10³　（4）5.67×10⁴　（5）1.78×10⁵

出題のポイント：無限遠を基準にした孤立球の電位からCを導く

真空中の孤立導体球では、無限遠を電位0とすると、半径Rの球表面電位はV＝Q/(4πε₀R)です。静電容量の定義C＝Q/Vに代入するとC＝4πε₀Rとなり、静電容量は表面積ではなく半径Rに比例します。半径6.37×10⁶mを代入すると7.08×10⁻⁴Fとなります。

ポイント解説：V＝Q/(4πε₀R)とC＝Q/Vを組み合わせる

半径R、電荷Qの孤立導体球を考えます。導体内部では電界が0で、電荷は表面に分布します。球外では中心からの距離をρとすると、ガウスの法則から$$E(\rho)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}$$です。

無限遠を電位0として球外電界を積分すると、球表面の電位は$$V(R)=\int_R^{\infty}E(\rho)\,d\rho=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}$$です。静電容量の定義C＝Q/Vを用いれば、$$C=4\pi\varepsilon_0R$$となります。したがって、孤立球の静電容量は半径Rに比例します。

問題の解説：指数を整理して7.08×10⁻⁴ Fを求める

STEP1　公式を書く

無限遠を電位0としたとき、半径Rの孤立導体球の表面電位はV＝Q/(4πε₀R)です。したがって、静電容量の定義C＝Q/Vより、$$C=4\pi\varepsilon_0R\;[\mathrm{F}]$$となります。

STEP2　数値を代入する

ε₀＝8.85×10^-12F/m、R＝6.37×10⁶mを代入すると、$$C=4\pi\times(8.85\times10^{-12})\times(6.37\times10^{6})$$です。指数部分は10^-12×10⁶＝10^-6となります。

STEP3　計算する

係数と10の累乗を分けて計算すると、$$C=(4\pi\times8.85\times6.37)\times10^{-6}\approx708.4\times10^{-6}=7.084\times10^{-4}\;[\mathrm{F}]$$です。選択肢の有効数字に合わせると7.08×10^-4Fとなるため、(1)です。なお、1/(4πε₀)≒9.0×10⁹を用いてC＝R/(9.0×10⁹)として確認しても同じ値になります。

答え：(1)（C≒7.08×10⁻⁴F＝0.708mF）

まとめ

基準	真空中の孤立球、無限遠でV＝0
球表面電位	V＝Q/(4πε0R)
静電容量	C＝Q/V＝4πε0R
半径	R＝6.37×106m
計算結果	C≒7.08×10-4F＝0.708mF → (1)

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