静電界65【電験3種 理論】直列と並列のコンデンサで総静電エネルギーが等しいときの電圧比！平成19年 A問題4 完全解説

今回は平成19年度 理論科目 A問題4を解説します。静電容量Cと2Cのコンデンサを図1（直列・電圧V₁）と図2（並列・電圧V₂）に接続し、両回路の総静電エネルギーが等しいとき、図1のCの端子電圧V_cとV₂の比|V_c/V₂|を求める問題です。

図1の直列合成容量はC_s＝2C/3、図2の並列合成容量はC_p＝3Cです。総エネルギーW＝½C_eqV²が等しいことから|V₁/V₂|＝3/√2を求め、直列分圧|V_c/V₁|＝2/3を掛けて最終比を計算します。

平成19年度 理論科目 A問題4：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成19年度 A問題4

　静電容量がC〔F〕と2C〔F〕の二つのコンデンサを図1、図2のように直列、並列に接続し、それぞれにV₁〔V〕、V₂〔V〕の直流電圧を加えたところ、両図の回路に蓄えられている総静電エネルギーが等しくなった。この場合、図1のC〔F〕のコンデンサの端子間の電圧をV_c〔V〕としたとき、電圧比|V_c/V₂|の値として、正しいのは次のうちどれか。

両図の総静電エネルギーが等しいとき、図1のCの端子電圧をV_cとして、電圧比|V_c/V₂|の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）√2/9　（2）2√2/9　（3）1/√2　（4）√2　（5）3.0

出題のポイント：合成容量で全エネルギー、逆比で直列分圧

図1の直列合成容量はC_s＝2C/3、図2の並列合成容量はC_p＝3Cです。総静電エネルギー½C_eqV²が等しいことから、|V₁/V₂|＝3/√2が得られます。また、図1では直列電荷が共通なので電圧は容量の逆比となり、C側には全電圧V₁の2/3がかかります。したがって|V_c/V₂|＝(2/3)(3/√2)＝√2です。

ポイント解説：エネルギー等価から全電圧比を求める

図1の合成容量はC_s＝C・2C/(C＋2C)＝2C/3、図2の合成容量はC_p＝C＋2C＝3Cです。全体の静電エネルギーには、各回路の合成容量を用いてW＝½C_eqV²を適用します。両回路のエネルギーが等しいので、C_sV₁²＝C_pV₂²です。

図1では二つのコンデンサに蓄えられる電荷の大きさが共通です。電圧はQ/Cで決まるため、C側と2C側の電圧比は(1/C)：(1/2C)＝2：1です。したがって、C側には全電圧の2/3がかかり、|V_c|＝2|V₁|/3となります。

問題の解説：二つの電圧比を掛けて√2を求める

STEP1　合成容量とエネルギー等価

図1はC_s＝2C/3、図2はC_p＝3Cです。総エネルギーが等しいので、$$\frac{1}{2}\frac{2C}{3}V_1^2=\frac{1}{2}(3C)V_2^2\quad\Rightarrow\quad\left|\frac{V_1}{V_2}\right|=\sqrt{\frac{3C}{2C/3}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$となります。エネルギー式には電圧の2乗が現れるため、ここでは問題文に合わせて絶対値の比を求めます。

STEP2　図1のCの電圧V_cを求める

直列コンデンサの電荷の大きさをqとすると、$$q=\frac{2C}{3}|V_1|,\qquad |V_c|=\frac{q}{C}=\frac{2}{3}|V_1|$$です。2C側の電圧は|V₁|/3となるため、C側と2C側の電圧比は2：1で、二つの電圧の和は|V₁|になります。

STEP3　電圧比を求める

求める比を二つの比に分けると、$$\left|\frac{V_c}{V_2}\right|=\left|\frac{V_c}{V_1}\right|\left|\frac{V_1}{V_2}\right|=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$となります。したがって正しい選択肢は(4)です。

答え：(4)（|V_c/V₂|＝√2）

まとめ

図1：直列合成容量	Cs＝2C/3
図2：並列合成容量	Cp＝3C
エネルギー等価	|V1/V2|＝3/√2
直列分圧	|Vc/V1|＝2/3
求める比	|Vc/V2|＝√2、答え(4)

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