静電界65【電験3種理論】直列と並列のコンデンサで総静電エネルギーが等しいときの電圧比！平成19年 A問題4 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成19年度 A問題4 直列と並列でエネルギーが同じ！電圧の比はいくつ？

今回は平成19年度理論科目 A問題4を解説します。静電容量Cと2Cのコンデンサを図1（直列・電圧V₁）と図2（並列・電圧V₂）に接続し、両回路の総静電エネルギーが等しいとき、図1のCの端子電圧V_cとV₂の比|V_c/V₂|を求める問題です。

図1の直列合成容量はC_s＝2C/3、図2の並列合成容量はC_p＝3Cです。総エネルギーW＝½C_eqV²が等しいことから|V₁/V₂|＝3/√2を求め、直列分圧|V_c/V₁|＝2/3を掛けて最終比を計算します。

平成19年度理論科目 A問題4：問題文と選択肢

求める比が直接出せないので、間に $V_1$ を挟んで2つの比を掛け合わせます。エネルギー等価と直列分圧、2つの関係を使います。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成19年度 A問題4 問題文 — 平成19年度理論科目 A問題4 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成19年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題4

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成19年度 A問題4

　静電容量がC〔F〕と2C〔F〕の二つのコンデンサを図1、図2のように直列、並列に接続し、それぞれにV₁〔V〕、V₂〔V〕の直流電圧を加えたところ、両図の回路に蓄えられている総静電エネルギーが等しくなった。この場合、図1のC〔F〕のコンデンサの端子間の電圧をV_c〔V〕としたとき、電圧比|V_c/V₂|の値として、正しいのは次のうちどれか。

両図の総静電エネルギーが等しいとき、図1のCの端子電圧をV_cとして、電圧比|V_c/V₂|の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）√2/9　（2）2√2/9　（3）1/√2　（4）√2　（5）3.0

出題のポイント：2つの比を掛け合わせる

求めるのは $|V_c/V_2|$ ですが、直接は出せません。2段階に分けます。

段階	求める比	使う条件	結果
①	$\|V_1/V_2\|$	総エネルギーが等しい	$3/\sqrt2$
②	$\|V_c/V_1\|$	直列の分圧（容量の逆比）	$2/3$
③	$\|V_c/V_2\|$	①×②	$\sqrt2$

「間に $V_1$ を挟んで橋渡しする」——これが本問の構造です。比の連鎖で最終的な答えにたどり着きます。

Cと2Cの直列回路と並列回路について合成容量と総静電エネルギーを比較する図 — 直列は2C/3、並列は3Cで、エネルギー等価から|V₁/V₂|＝3/√2を求めます。

① エネルギー等価から全電圧の比を求める

合成容量と全静電エネルギー

$$C_s=\frac{C\cdot2C}{C+2C}=\frac{2C}{3},\qquad C_p=C+2C=3C,\qquad W=\frac12C_{\text{eq}}V^2$$

※直列は積÷和、並列は和。全体のエネルギーは合成容量で計算できます。

$$\frac12C_sV_1^2=\frac12C_pV_2^2$$

❶ エネルギーが等しい

$$\frac{V_1^2}{V_2^2}=\frac{C_p}{C_s}=\frac{3C}{2C/3}=\frac92$$

❷ 比を作る
Cが約分で消える

$$\left|\frac{V_1}{V_2}\right|=\sqrt{\frac92}=\frac{3}{\sqrt2}\approx2.12$$

❸ 平方根を取る
直列側のほうが高い電圧が必要

直列のほうが合成容量が小さい（$2C/3$ 対 $3C$、実に4.5倍の差）ので、同じエネルギーを蓄えるには高い電圧が必要です。$V_1$ が $V_2$ の約2.12倍——物理的に納得できる方向です。

② 直列の分圧は「容量の逆比」

図1では $C$ と $2C$ が直列です。電圧はどう分かれるか——ここが第2の急所です。

$$Q_1=Q_2\;(\text{直列は電荷が共通})$$

❹ 直列の性質

$$V=\frac{Q}{C}\;\Rightarrow\;V_C:V_{2C}=\frac1C:\frac1{2C}=2:1$$

❺ 電圧は容量の逆比
容量が小さいほど高い電圧

$$V_c=\frac{2}{2+1}V_1=\frac23V_1$$

❻ C側の分担
全体の2/3

「容量が小さいほうに大きい電圧」——抵抗の直列（大きいほうに大きい電圧）とは逆です。$V=Q/C$ でCが分母にあるのが理由です。

③ 2つの比を掛ける

$$\left|\frac{V_c}{V_2}\right|=\left|\frac{V_c}{V_1}\right|\times\left|\frac{V_1}{V_2}\right|=\frac23\times\frac{3}{\sqrt2}$$

❼ 比の連鎖
$V_1$ を経由

$$=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\approx1.41$$

❽ 3が約分で消える
きれいな形になる

分母の3と分子の3が約分されるのが気持ちよいところです。$2/\sqrt2=\sqrt2$——有理化すると $\sqrt2$ になります。

Cと2Cの直列接続で電荷が共通になり電圧が2対1に分かれることを示す図 — 直列では電圧が容量の逆比に分かれるため、C側の電圧は|Vc|＝2|V₁|/3です。

答え$\left|V_c/V_2\right|=\sqrt2\approx1.41$　→　選択肢(4)

全電圧比と直列分圧比を掛けて絶対電圧比ルート2を求める解答フロー — |Vc/V₂|＝|Vc/V₁|・|V₁/V₂|＝(2/3)(3/√2)＝√2なので正解は(4)です。

誤答の正体：どちらかの比を間違える

典型的な誤りを実際に計算し、選択肢と照合しました。

誤り方	計算	得られる値	選択肢との対応
分圧を容量比のまま（逆比にしない）	$\frac13\times\frac{3}{\sqrt2}$	0.707	(3) $1/\sqrt2$ に一致
エネルギー等価で2乗を忘れる	$\frac23\times\frac92$	3.00	(5) 3.0 に一致
$\|V_1/V_2\|$ をそのまま答える	$3/\sqrt2$	2.12	選択肢になし
正しい計算	$\frac23\times\frac{3}{\sqrt2}$	1.414	(4) $\sqrt2$ に一致

(3)の $1/\sqrt2$ は「直列の分圧を逆比にしなかった」ケースです。$C$ と $2C$ なら、Cのほうが小さいので電圧は大きい——$1/3$ ではなく $2/3$ です。

(5)の3.0 は「エネルギー等価で2乗を忘れた」ケースです。$W=\frac12CV^2$ の $V$ は2乗なので、比を取ったら平方根が必要——$9/2$ ではなく $\sqrt{9/2}$ です。

2つの誤りがそれぞれ別の選択肢に対応している——「どちらの比を間違えたか」で着地点が変わる設計になっています。

直列と並列で合成容量が4.5倍違う

$C_s=2C/3$ と $C_p=3C$——同じ2つのコンデンサでも、つなぎ方で4.5倍の差が出ます。

	直列	並列	比
合成容量	$2C/3\approx0.67C$	$3C$	4.5倍
同じ電圧でのエネルギー	小さい	大きい	4.5倍
同じエネルギーに必要な電圧	高い	低い	$\sqrt{4.5}\approx2.12$ 倍

エネルギーは電圧の2乗で効くので、容量が4.5倍違っても必要な電圧の差は $\sqrt{4.5}\approx2.12$ 倍にとどまります。平方根で緩和される——これがエネルギー比較の特徴です。

実務では、耐圧を稼ぎたいときに直列、容量を稼ぎたいときに並列を使います。直列では各コンデンサにかかる電圧が分散されるので、低耐圧のコンデンサを複数直列にして高電圧に対応できます。ただし容量のばらつきが電圧の偏りを生むため、均圧抵抗を並列に入れるのが定石です。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 求める比が直接出せないときは間に別の量を挟んで比の連鎖にする
② 全エネルギーは合成容量で $\frac12C_{\text{eq}}V^2$（個別に計算しなくてよい）
③ エネルギー等価から比を出すときは平方根を忘れない
④ 直列の分圧は容量の逆比——小さいほうに大きい電圧（抵抗とは逆）
⑤ 直列は積÷和、並列は和

💡 覚え方
「比の橋渡し」。$V_c/V_2$ が直接出せないなら、$V_c/V_1$ と $V_1/V_2$ を掛ける——間に共通の量を挟むと道が開けます。エネルギー等価は平方根、直列分圧は逆比です。

⚠️ よくある間違い
直列の分圧を逆比にしないのが最頻出で、選択肢(3)に着地します。Cのほうが小さいので電圧は2/3です。次に多いのがエネルギー等価で平方根を取り忘れるミスで、こちらは選択肢(5)の3.0になります。

まとめ

図1：直列合成容量	C_s＝2C/3
図2：並列合成容量	C_p＝3C
エネルギー等価	\|V₁/V₂\|＝3/√2
直列分圧	\|V_c/V₁\|＝2/3
求める比	\|V_c/V₂\|＝√2、答え(4)