静電界59【電験3種 理論】電源とコンデンサの5回路で蓄えるエネルギーが最小なのはどれ？平成21年 A問題5 完全解説

今回は平成21年度 理論科目 A問題5を解説します。直流電源E〔V〕とコンデンサC〔F〕の個数・組み合わせを変えた5種類の回路のうち、コンデンサ全体に蓄えられるエネルギーが最も小さい回路を選ぶ問題です。

各回路について、コンデンサ群の端子電圧Vと合成静電容量C_eqを求め、全エネルギーW＝½C_eqV²を計算します。同一電源を並列接続してV＝E、同じコンデンサ2個を直列接続してC_eq＝C/2とした回路(4)が、最小のCE²/4となります。

平成21年度 理論科目 A問題5：問題文と選択肢

5つの回路が並びますが、各回路を「端子電圧V」と「合成容量」の2つに還元すれば一気に比較できます。まずは問題文を確認しましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成21年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題5

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成21年度 A問題5

　図に示す5種類の回路は、直流電圧E〔V〕の電源と静電容量C〔F〕のコンデンサの個数と組み合わせを異にしたものである。これらの回路のうち、コンデンサ全体に蓄えられている電界のエネルギーが最も小さい回路を示す図として、正しいのは次のうちどれか。

これらの回路のうち、コンデンサ全体に蓄えられている電界のエネルギーが最も小さい回路を示す図として、正しいものを図中の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

出題のポイント：5回路を「V」と「Ceq」の2つだけに還元する

回路が5つ並ぶと圧倒されますが、各回路について2つの数字を出すだけで比較できます。

接続	電源	コンデンサ
直列	\(V=2E\)（同じ向きなら足す）	\(C_{\text{eq}}=C/2\)
並列	\(V=E\)（増えない）	\(C_{\text{eq}}=2C\)

電源とコンデンサで直列・並列の効果が正反対です。電源は直列で電圧が増え、コンデンサは並列で容量が増える——ここを取り違えないことが第一です。

そして電圧は2乗で効きます。電源を直列にして \(V=2E\) にすると、エネルギーは4倍のインパクトを受けます。「エネルギーを小さくしたいなら、まず電圧を上げないこと」という見通しが立ちます。

問題の解説：5回路を同じ基準で並べる

\(CE^2\) を基準にして、各回路の係数を比べます。

回路	端子電圧 V	合成容量 \(C_{\text{eq}}\)	\(W/(CE^2)\)	順位
(1)	E	C	1/2 ＝ 0.500	2位
(2)	2E（電源直列）	C/2（C直列）	1 ＝ 1.000	3位（同点）
(3)	2E（電源直列）	C（1個だけ）	2 ＝ 2.000	最大
(4)	E（電源並列）	C/2（C直列）	1/4 ＝ 0.250	最小
(5)	E	2C（C並列）	1 ＝ 1.000	3位（同点）

順位は \(W_4<W_1<W_2=W_5<W_3\)。最小と最大では8倍の差（0.25対2.0）があります。

誤答の正体：回路(3)の読み違えと、電源並列の誤解

回路(3)が最大になる理由を確認しておくと、他の誤りも見えてきます。

ありがちな読み違え	誤った値	正しい理解
回路(3)のコンデンサを2個並列と読む	\(C_{\text{eq}}=2C\) → \(W=4CE^2\)	コンデンサは1個だけなので \(C_{\text{eq}}=C\)
電源の並列で \(V=2E\) とする	回路(4)が \(W=CE^2\) に	同じ電圧の電源を並列にしても電圧は増えない
コンデンサ直列を \(2C\) とする	回路(4)が \(W=CE^2\) に	直列は \(C/2\)（抵抗とは逆）
電圧の2乗を忘れる	回路(2)(3)を過小評価	\(V^2\) なので2Eは4倍

「同じ電源を並列にしても電圧は増えない」——これは電池の並列接続と同じです。増えるのは取り出せる電流であって電圧ではありません。

コンデンサの直列が \(C/2\) になるのも要注意です。抵抗の直列は足し算ですが、コンデンサの直列は逆数の和——同じ「直列」でも振る舞いが逆です。

エネルギーを小さくする条件を一般化する

結果を眺めると、どうすればエネルギーが小さくなるかが読み取れます。

やること	Wへの効果	優先度
電圧を半分にする	1/4になる	最も効く（2乗だから）
合成容量を半分にする	1/2になる	次に効く
両方やる	1/8になる	—

回路(4)は「電圧を上げず、容量を下げる」を両方満たしています。電源を並列（電圧はEのまま）にし、コンデンサを直列（容量はC/2）にする——2つの選択がどちらもエネルギーを下げる方向です。

逆に回路(3)は「電圧を上げ、容量は下げない」——最悪の組合せです。だから最大の \(2CE^2\) になります。

本番で使える時間短縮テクニック

まとめ

回路	端子電圧V	合成容量Ceq	エネルギーW
(1)	E	C	½CE2
(2)	2E	C/2	CE2
(3)	2E	C	2CE2
(4)	E	C/2	CE2/4（最小）
(5)	E	2C	CE2
答え	(4)

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