静電界60【電験3種理論】空気・誘電体・空気の3層コンデンサの電界分布と印加電圧！平成21年 B問題17 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成21年度 B問題17 空気・誘電体・空気の3層！電界はどこが一番強い？

今回は平成21年度理論科目 B問題17を解説します。空気（4mm）・固体誘電体ε_r2＝4（4mm）・空気（2mm）の3層からなる平行平板電極について、（a）電界の強さの分布、（b）下部空気の電界が2kV/mmに達するときの電圧を求める問題です。

誘電体の界面に自由表面電荷がなく、端効果を無視できるため、電束密度Dの法線成分は三つの層で共通です。E＝D/εより、比誘電率1の二つの空気層では同じ電界となり、比誘電率4の固体誘電体では空気の1/4になります。（b）は各層の電界と厚さの積を足して印加電圧を求めます。

平成21年度理論科目 B問題17：問題文と選択肢

3層構造ですが、電界は2種類の値しか取りません。層が重なる＝直列＝電束密度が共通——ここから全てが決まります。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成21年度 B問題17 問題文 — 平成21年度理論科目 B問題17 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成21年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題17

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成21年度 B問題17

　図に示すように、面積が十分に広い平行平板電極（電極間距離10〔mm〕）が空気（比誘電率ε_r1＝1とする）と、電極と同形同面積の厚さ4〔mm〕で比誘電率ε_r2＝4の固体誘電体で構成されている。下部電極を接地し、上部電極に直流電圧V〔kV〕を加えた。次の(a)及び(b)に答えよ。ただし、固体誘電体の導電性及び電極と固体誘電体の端効果は無視できるものとする。

（a）電極間の電界の強さE〔kV/mm〕のおおよその分布を示す図として、正しいものを図中の(1)〜(5)のうちから一つ選べ（上部電極から下部電極に向かう距離をx〔mm〕とする）。

（b）上部電極に加える電圧V〔kV〕を徐々に増加し、下部電極側の空気中の電界の強さが2〔kV/mm〕に達したときの電圧V〔kV〕の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）11　（2）14　（3）20　（4）44　（5）56

図　空気（4mm）・固体誘電体εr=4（4mm）・空気（2mm）の3層からなる平行平板電極（問題図）

出題のポイント：界面でDが連続、だからEは誘電率の逆比

空気・固体誘電体・空気の3層構造です。層が重なっている＝直列なので、電束密度Dが全層で共通になります。

$$D_{1n}-D_{2n}=\sigma_f=0\;\Rightarrow\;D\;\text{は連続}$$

❶ 界面に自由電荷がない
3層すべてで同じD

$$E=\frac{D}{\varepsilon}\;\Rightarrow\;E\propto\frac{1}{\varepsilon_r}$$

❷ 電界は誘電率の逆比
εが大きい層ほど電界が弱い

層	厚さ	比誘電率	電界（空気を1として）
上部空気	4 mm	1	1
固体誘電体	4 mm	4	1/4
下部空気	2 mm	1	1

上下の空気層は厚さが違うのに電界は同じです。材質が同じでDも共通なら、電界も同じ——厚さは電界ではなく電圧降下に効きます。

空気4mm・比誘電率4の固体4mm・空気2mmの三層平行板電極と一定の電束密度Dを示す断面図 — 界面に自由表面電荷がないためDは一定で、電界は空気で大きく、固体で1/4になります。

(a) の解説：段差が1段だけの図を選ぶ

電界の分布図を選ぶ問題です。3層あるのに、電界は2種類の値しか取りません。

位置 x	層	電界の値	図での見え方
0〜4 mm	上部空気	$E_{\text{空}}$	高い水平線
4〜8 mm	固体誘電体	$E_{\text{空}}/4$	低い水平線（1/4）
8〜10 mm	下部空気	$E_{\text{空}}$	また高い水平線（同じ高さ）

「高い・低い・高い」の階段状——しかも両端の高さが等しいのが特徴です。

厚さの違い（4 mmと2 mm）は電界の高さに影響しません。図の横幅（区間の長さ）が違うだけで、縦の高さは同じ——ここを取り違えた図が誤答として用意されています。

xが0から10mmの範囲における正規化電界E/E空の段差分布を示すグラフ — 0～4mmと8～10mmはE/E空＝1、4～8mmは1/4となるため、選択肢(5)です。

答え(a) 両端の空気層が同じ高さ、中央の固体層だけ1/4に下がる図　→　選択肢(5)

(b) の解説：各層の電圧降下を足す

各層の電圧降下と合計

$$V_i=E_i\times d_i,\qquad V=\sum V_i$$

※電界が層ごとに違うので、まとめて $E\times10\;\mathrm{mm}$ とはできません。

STEP1　各層の電界を求める

下部空気の電界が2 kV/mmという条件から出発します。上部空気も同じ2 kV/mm、固体はその1/4です。

$$E_{\text{空}}=2\;[\mathrm{kV/mm}],\qquad E_{\text{固}}=\frac{2}{4}=0.5\;[\mathrm{kV/mm}]$$

❸ 誘電率の逆比
固体は1/4

STEP2　電圧降下を層ごとに計算する

層	電界 [kV/mm]	厚さ [mm]	電圧降下 [kV]
上部空気	2.0	4	8.0
固体誘電体	0.5	4	2.0
下部空気	2.0	2	4.0
合計	—	10	14.0

厚さが同じ4 mmでも、上部空気は8 kV、固体は2 kV——4倍の差があります。電界の弱い層は電圧をあまり負担しません。

答え(b) $V=8+2+4=14\;[\mathrm{kV}]$　→　選択肢(2)

三層の電圧降下8kV・2kV・4kVを足して印加電圧14kVを求める計算図 — 空気2kV/mm、固体0.5kV/mmより、各層の電圧降下は8kV・2kV・4kV、合計14kVです。

誤答の正体：εの効き方を逆にすると44 kV

誤り方	計算	得られる電圧	選択肢との対応
全層を空気とみなす	$2\times10$	20 kV	(3) に一致
固体層も2 kV/mmとする	$2\times4+2\times4+2\times2$	20 kV	(3) に一致
空気層だけ足す	$2\times4+2\times2$	12 kV	選択肢になし
固体の電界を4倍にする	$2\times4+8\times4+2\times2$	44 kV	(4) に一致
正しい計算	$8+2+4$	14 kV	(2) に一致

(4)の44 kVが最も重要な誤答です。「誘電率が大きい層ほど電界が強い」と逆に覚えていると、固体層を $2\times4=8\;\mathrm{kV/mm}$ としてしまいます。

正しくは $E=D/\varepsilon$ なので、εが大きいほど電界は弱い——固体層は空気の1/4です。この逆転が44 kVと14 kVという3倍以上の差を生みます。

(3)の20 kVは2通りの誤りから出ます。「全層が空気」と考えても「固体層も同じ電界」と考えても、結果は同じ $2\times10=20\;\mathrm{kV}$——どちらも「誘電体の存在を無視した」ことに変わりありません。

なぜ空気層が先に絶縁破壊するのか

本問は「下部空気の電界が2 kV/mmに達したとき」を問うています。なぜ空気層が基準になるのか——実務上きわめて重要な理由があります。

	空気	固体誘電体
比誘電率	1	4
電界の強さ	強い（4倍）	弱い
絶縁耐力	低い（約3 kV/mm）	高い（数十 kV/mm）
結果	最も壊れやすい	余裕がある

空気層は「電界が最も強く、かつ絶縁耐力が最も低い」——二重に不利な条件が重なっています。だから絶縁破壊は必ず空気層から始まります。

これが「絶縁物中のボイド（気泡）が危険」とされる理由です。固体絶縁物の中に微小な空気の隙間があると、そこに電界が集中し、しかも空気は壊れやすい——部分放電の起点になります。

対策は「空気層をなくすこと」です。真空含浸で気泡を追い出す、油やコンパウンドで隙間を埋める——高圧機器の製造工程で最も気を使う部分の一つです。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 層が重なる＝直列＝Dが共通。まずこれを確定させる
② $E=D/\varepsilon$——εが大きい層ほど電界は弱い（逆にしない）
③ 同じ材質の層は厚さが違っても電界は同じ（厚さは電圧降下に効く）
④ 電圧は層ごとに $E_i\times d_i$ を計算して足す
⑤ 空気層が最も危険（電界が強く、耐力が低い）

💡 覚え方
「Dは通し、Eは分ける」。重ねた層では電束密度が共通で、電界だけが誘電率の逆比に分かれます。εが小さい空気層に電界が集中——これが絶縁の弱点です。

⚠️ よくある間違い
「誘電率が大きい層ほど電界が強い」と逆に覚えるのが最大の誤りで、選択肢(4)の44 kVに着地します。$E=D/\varepsilon$ なのでεが大きいほど弱くなります。また誘電体を無視して全層を空気とみなすと20 kV（選択肢(3)）です。

まとめ

Dの関係	界面に自由表面電荷がないため全層で共通
（a）電界分布	空気：1、固体：1/4、空気：1 → (5)
上部空気層	2kV/mm×4mm＝8kV
固体誘電体	0.5kV/mm×4mm＝2kV
下部空気層	2kV/mm×2mm＝4kV
（b）印加電圧	8＋2＋4＝14kV → (2)