静電界61【電験3種理論】正三角形の頂点に置いた3点電荷が垂線上につくる合成電界！平成20年 A問題1 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成20年度 A問題1 正三角形の3電荷がつくる電界！合成すると何V/m？

今回は平成20年度理論科目 A問題1を解説します。一辺2aの正三角形の各頂点A・B・Cに正電荷Qを置いたとき、辺BCの中点Dから距離xの点P（垂線AD上、DとGの間）における合成電界の大きさを表す式を求める問題です。

点Pでは、頂点Aの正電荷による電界は下向き、頂点B・Cの正電荷による電界の鉛直成分は上向きです。B・Cの水平成分は対称性により相殺します。PはDと重心Gの間にあるため、合成電界の大きさはAによる下向き電界からB・Cによる上向き成分を引いて求めます。

平成20年度理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、平成20年度に実際に出題された問題文と選択肢を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成20年度 A問題1 問題文 — 平成20年度理論科目 A問題1 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成20年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題1

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成20年度 A問題1

　真空中において、図のように一辺が2a〔m〕の正三角形の各頂点A、B、Cに正の点電荷Q〔C〕が配置されている。点Aから辺BCの中点Dに下ろした垂線上の点Gを正三角形の重心とする。点Dからx〔m〕離れた点Pの電界〔V/m〕の大きさを表す式として、正しいのは次のうちどれか。ただし、点Pは点Dと点G間の垂線上にあるものとし、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。

点Dからx〔m〕離れた点Pの電界〔V/m〕の大きさを表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(1) (Q/4πε₀)〔1/(√3a−x) ＋ 2/√(a²+x²)〕
(2) (Q/4πε₀)〔1/(√3a−x)² ＋ 2/(a²+x²)〕
(3) (Q/4πε₀)〔1/(√3a−x)² − 2/(a²+x²)〕
(4) (Q/4πε₀)〔1/(√3a−x)² ＋ 2x/(a²+x²)^3/2〕
(5) (Q/4πε₀)〔1/(√3a−x)² − 2x/(a²+x²)^3/2〕

図　一辺2aの正三角形の頂点A・B・Cの点電荷Qと、点D・重心G・点P（自作図）

出題のポイント：ベクトルを「縦」と「横」に分けて、横は捨てる

3つの電荷がつくる電界を足す問題です。電界はベクトルなので、単純に大きさを足してはいけません。ただしB と C は左右対称なので、横向き成分はきれいに打ち消し合います。残るのは縦向き成分だけです。

点電荷の電界と、その成分分解

$$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\qquad\text{縦成分}=E\times\frac{x}{r}=\frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$$

※分母が $r^3$（＝$(a^2+x^2)^{3/2}$）になるのが成分分解の目印です。$r^2$ のままなら分解していない証拠。

正三角形ABCの垂線上にある点Pの座標と各頂点の正電荷が作る電界の向きを示す図 — Aからの電界は下向き、B・Cからの電界は水平成分が相殺して上向き成分だけが残ります。

図形の整理：一辺 $2a$ の正三角形の各点

Dを原点、ADを縦軸にとると、すべての距離が簡単に書けます。

点	位置	Pからの距離
D（BCの中点）	原点	—
B・C	Dから左右に $a$	$\sqrt{a^2+x^2}$
A（頂点）	Dの真上 $\sqrt3\,a$	$\sqrt3\,a-x$
G（重心）	Dの真上 $\dfrac{\sqrt3\,a}{3}$	—
P	Dの真上 $x$（DとGの間）	—

正三角形の高さは一辺の $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 倍なので、一辺 $2a$ なら高さは $2a\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\,a$ です。ここを $\sqrt3\,a/2$ と間違えると全部ずれます。

解説：Aは下向き、B・Cは上向き

すべて正電荷なので、正の試験電荷は各電荷から遠ざかる向きに押されます。

電荷	Pから見た位置	電界の向き	縦成分の大きさ
A	真上	下向き	$\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0(\sqrt3a-x)^2}$
B	左下	右上向き	$\dfrac{Qx}{4\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)^{3/2}}$（上向き）
C	右下	左上向き	$\dfrac{Qx}{4\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)^{3/2}}$（上向き）

B の右向き成分と C の左向き成分が相殺し、上向き成分だけが2つ分残ります。したがって合成電界は「Aによる下向き」から「B・Cによる上向き」を引いたものです。

$$E_A=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(\sqrt3a-x)^2}\quad(\text{下向き})$$

❶ Aの寄与
距離は $\sqrt3a-x$

$$E_{BC}=2\times\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)}\times\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{2Qx}{4\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)^{3/2}}$$

❷ B・Cの寄与（上向き）
$\cos\theta=x/r$ を掛けて縦成分にする

$$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{(\sqrt3a-x)^2}-\frac{2x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\right]$$

❸ 引き算で合成
向きが逆なので引く

点Bと点Cによる電界を水平成分と鉛直成分に分解して合成する図 — B・Cの水平成分は相殺し、鉛直成分の和は2Qx/[4πε₀(a²+x²)^(3/2)]です。

答え$E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\dfrac{1}{(\sqrt3a-x)^2}-\dfrac{2x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\right]$　→　選択肢(5)

正三角形の三つの点電荷が点Pに作る合成電界を求め選択肢5を導く計算図 — 下向きE_Aから上向きE_BCを引くと選択肢(5)となり、重心Gでは0になります。

選択肢を「形」で振るい落とす

この問題は計算しなくても、式の形だけで4つ消せます。

選択肢	式の特徴	判定
(1)	分母が距離の1乗	× それは電位の式。電界は2乗
(2)	第2項が $2/(a^2+x^2)$	× $x/r$ を掛けていない＝成分分解していない
(3)	第2項が $2/(a^2+x^2)$、符号は−	× 符号は正しいが同じく分解していない
(4)	形は正しいが符号が＋	× B・Cは逆向きなので足してはいけない
(5)	$(a^2+x^2)^{3/2}$ かつ符号が−	◎ 正解

❶ 分母が2乗か（電界か電位か）／❷ $3/2$ 乗になっているか（成分分解したか）／❸ 符号が−か（向きが逆か）——この3つのチェックだけで正解にたどり着けます。

💡 覚え方
斜めの電界を縦成分にすると、分母が $r^2$ から $r^3$（＝ $3/2$ 乗）に上がる。これは電験3種で繰り返し出る形です。「$3/2$ 乗を見たら成分分解済み」と覚えてください。

決定打：重心Gで電界がゼロになることを使う

(4)と(5)は符号だけの違いです。どちらか迷ったら、重心G（$x=\sqrt3a/3$）を代入してください。

重心は3つの電荷から等距離にあり、120°の対称位置にあります。したがって3つの電界がベクトル的に完全に打ち消し合い、電界はゼロになります。

$$\sqrt3a-\frac{\sqrt3a}{3}=\frac{2\sqrt3a}{3}\;\Rightarrow\;\frac{1}{(\cdots)^2}=\frac{3}{4a^2}$$

第1項をGで評価

$$a^2+\frac{a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}\;\Rightarrow\;\frac{2x}{(\cdots)^{3/2}}=\frac{2a/\sqrt3}{(4a^2/3)^{3/2}}=\frac{3}{4a^2}$$

第2項をGで評価

$$\frac{3}{4a^2}-\frac{3}{4a^2}=0\quad\text{◎}$$

引き算なら0になる
足し算だと $3/2a^2$ で0にならない

引き算の(5)だけがGでゼロになります。足し算の(4)では $\dfrac{3}{2a^2}$ となり、対称性から明らかな「重心で電界ゼロ」を満たしません。これが決定打です。

深掘り：実はDとGの途中で電界の向きが反転する

この式を $x$ の関数として調べると、興味深い性質が見えてきます。$a=1$、$Q/4\pi\varepsilon_0=1$ として値を並べてみます。

$x$	Aの寄与（下向き）	B・Cの寄与（上向き）	合成	電界の向き
0（点D）	0.3333	0	+0.3333	下向き
0.10	—	—	+0.1784	下向き
0.249	—	—	0	ここで反転
0.40	—	—	−0.0767	上向き
0.577（重心G）	0.7500	0.7500	0	ゼロ

DからGへ向かう途中、$x\approx0.249a$ で電界がいったんゼロになり、そこから先は向きが上向きに変わります。そしてGで再びゼロになります。

これは重心Gが電位の「鞍点」だからです。アーンショーの定理により、電荷のない空間に電位の極大点・極小点は存在できません。GはAD方向に沿っては極小、それと垂直な方向には極大という馬の鞍のような形をしており、その手前に電位の山ができるのです。

試験では選択肢(5)を選べば正解です。この式は「下向きを正とした成分」を表しており、Dの近くでは正の値になります。ただし $x$ を大きくすると符号が変わる——この事実を知っておくと、静電界の理解が一段深まります。

⏱️ 本番での進め方
❶ 対称性で横成分を消す。B・Cが左右対称なら、横向きは必ず相殺する。計算する必要すらない。
❷ 分母の指数をチェック：電位なら1乗、電界なら2乗、成分分解した電界なら $3/2$ 乗（＝$r^3$）。
❸ 符号は「向きが同じか逆か」。Aは上にあるので下向き、B・Cは下にあるので上向き。逆向き＝引き算。
❹ 迷ったら特別な点を代入：重心Gで0になるか、点D（$x=0$）で $Q/(4\pi\varepsilon_0\cdot3a^2)$ になるか。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

まとめ

座標と範囲	A(0,√3a)、B(−a,0)、C(a,0)、P(0,x)、0≦x≦a/√3
Aの電界	下向き　Q/[4πε₀(√3a−x)²]
B・Cの鉛直成分	上向き　2Qx/[4πε₀(a²+x²)^3/2]
合成	E＝E_A−E_BC
検算と答え	DではE_BC＝0、GではE＝0、答え(5)