静電界61【電験3種理論】正三角形の頂点に置いた3点電荷が垂線上につくる合成電界！平成20年 A問題1 完全解説

2026年7月11日2026年7月20日

今回は平成20年度理論科目 A問題1を解説します。一辺2aの正三角形の各頂点A・B・Cに正電荷Qを置いたとき、辺BCの中点Dから距離xの点P（垂線AD上、DとGの間）における合成電界の大きさを表す式を求める問題です。

点Pでは、頂点Aの正電荷による電界は下向き、頂点B・Cの正電荷による電界の鉛直成分は上向きです。B・Cの水平成分は対称性により相殺します。PはDと重心Gの間にあるため、合成電界の大きさはAによる下向き電界からB・Cによる上向き成分を引いて求めます。

平成20年度理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目静電界平成20年度 A問題1 問題文 — 平成20年度理論科目 A問題1 問題文

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成20年度 A問題1

　真空中において、図のように一辺が2a〔m〕の正三角形の各頂点A、B、Cに正の点電荷Q〔C〕が配置されている。点Aから辺BCの中点Dに下ろした垂線上の点Gを正三角形の重心とする。点Dからx〔m〕離れた点Pの電界〔V/m〕の大きさを表す式として、正しいのは次のうちどれか。ただし、点Pは点Dと点G間の垂線上にあるものとし、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。

点Dからx〔m〕離れた点Pの電界〔V/m〕の大きさを表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(1) (Q/4πε₀)〔1/(√3a−x) ＋ 2/√(a²+x²)〕
(2) (Q/4πε₀)〔1/(√3a−x)² ＋ 2/(a²+x²)〕
(3) (Q/4πε₀)〔1/(√3a−x)² − 2/(a²+x²)〕
(4) (Q/4πε₀)〔1/(√3a−x)² ＋ 2x/(a²+x²)^3/2〕
(5) (Q/4πε₀)〔1/(√3a−x)² − 2x/(a²+x²)^3/2〕

図　一辺2aの正三角形の頂点A・B・Cの点電荷Qと、点D・重心G・点P（自作図）

出題のポイント：距離・向き・成分を座標で整理する

正三角形ABCの垂線上にある点Pの座標と各頂点の正電荷が作る電界の向きを示す図 — Aからの電界は下向き、B・Cからの電界は水平成分が相殺して上向き成分だけが残ります。

Dを原点、ADをy軸に取ると、A(0,√3a)、B(−a,0)、C(a,0)、P(0,x)です。Aの正電荷による電界は下向きです。B・Cによる電界は左右対称なので水平成分が相殺し、上向きの鉛直成分だけが残ります。PはDと重心Gの間にあり、0≦x≦a/√3なので、合成電界の大きさはAによる下向き電界からB・Cによる上向き成分を引いて求めます。

ポイント解説：対称性で水平成分を消し、鉛直成分を差し引く

点Bと点Cによる電界を水平成分と鉛直成分に分解して合成する図 — B・Cの水平成分は相殺し、鉛直成分の和は2Qx/[4πε₀(a²+x²)^(3/2)]です。

正三角形の高さは√3a、重心GはDからa/√3の位置にあります。したがってPの範囲は0≦x≦a/√3です。この範囲では、Aによる電界は下向き、B・Cによる電界の合成は上向きで、DとGの間ではAによる電界の方が大きく、Gで両者が等しくなります。

B・CからPまでの距離をr＝√(a²+x²)とすると、各電界の大きさはQ/(4πε₀r²)です。鉛直方向の方向余弦はx/rなので、各鉛直成分はQx/(4πε₀r³)となります。左右の水平成分は相殺し、上向きの鉛直成分が2本分加わります。

問題の解説：E_AとE_BCを求めて選択肢(5)

正三角形の三つの点電荷が点Pに作る合成電界を求め選択肢5を導く計算図 — 下向きE_Aから上向きE_BCを引くと選択肢(5)となり、重心Gでは0になります。

STEP1　各点までの距離を求める

点Dを原点、垂線ADをy軸とします。一辺2aの正三角形の高さは(√3/2)×2a＝√3aなので、A(0,√3a)、B(−a,0)、C(a,0)、P(0,x)です。したがって、AP＝√3a−x、BP＝CP＝√(a²+x²)となります。また、重心は高さを2:1に分けるためDG＝a/√3で、0≦x≦a/√3です。

STEP2　各電界の向きと大きさ

Aの正電荷から見てPは下側にあるため、Aによる電界は下向きで、$$E_A=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{(\sqrt{3}a-x)^2}$$です。B・CからPまでの距離をr＝√(a²+x²)とすると、各電界の鉛直成分はQ/(4πε₀r²)にx/rを掛けたものです。水平成分は相殺するので、上向き成分の合計は、$$E_{BC}=2\cdot\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^2+x^2}\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2x}{(a^2+x^2)^{3/2}}$$となります。

STEP3　合成電界を求める

Aによる電界とB・Cによる合成電界は逆向きです。0≦x≦a/√3ではE_A≧E_BCなので、電界の大きさは、$$E=E_A-E_{BC}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{(\sqrt{3}a-x)^2}-\frac{2x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\right]$$となり、正しい選択肢は(5)です。x＝0ではB・Cの鉛直成分が0、x＝a/√3の重心Gでは合成電界が0となることからも検算できます。

答え：(5)

💡 解き方
最初に座標と電界の矢印を描きます。対称なB・Cでは水平成分が消え、鉛直成分だけが2本分加わります。各鉛直成分は電界の大きさ×x/rで求め、最後に下向きE_Aと上向きE_BCを差し引きます。

⚠️ よくある間違い
B・Cの各電界Q/[4πε₀(a²+x²)]をそのまま2倍しないこと。鉛直成分を得るにはさらにx/√(a²+x²)を掛けるため、分母は(a²+x²)^3/2になります。また、本問の範囲では大きさはE_A−E_BCです。

まとめ

座標と範囲	A(0,√3a)、B(−a,0)、C(a,0)、P(0,x)、0≦x≦a/√3
Aの電界	下向き　Q/[4πε₀(√3a−x)²]
B・Cの鉛直成分	上向き　2Qx/[4πε₀(a²+x²)^3/2]
合成	E＝E_A−E_BC
検算と答え	DではE_BC＝0、GではE＝0、答え(5)