静電界56【電験3種理論】正三角形に置いた点電荷に働く力と一様電界中の力のつり合い！平成22年 B問題17 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成22年度 B問題17 正三角形の3電荷！働く力はどこを向く？

今回は平成22年度理論科目 B問題17を解説します。一辺6mの正三角形の頂点Aに+4×10^-9C、頂点Bに−4×10^-9Cを置き、（a）点Cと点Dに正電荷を置いたときの力の比F_C/F_D、（b）点Cで一様電界を加えたときの正電荷の値を求める問題です。

点Cでは大きさが等しい2力を成分分解すると、鉛直成分が相殺し、AからBへ向かう水平成分だけが残ります。点Dでは2力が同一直線上でAからBへ向かうため、そのまま加算されます。（b）は、点電荷が作る右向き1 N/Cの電界と、左向き0.5 N/Cの一様電界を差し引いてq₀を求めます。

平成22年度理論科目 B問題17：問題文と選択肢

正三角形の頂点と辺の中点で、受ける力を比べます。まず力の矢印を描く——向きが決まれば、あとは成分に分けるだけです。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成22年度 B問題17 問題文 — 平成22年度理論科目 B問題17 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成22年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題17

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成22年度 B問題17

　真空中において、図に示すように、一辺の長さが6〔m〕の正三角形の頂点Aに4×10^-9〔C〕の正の点電荷が置かれ、頂点Bに−4×10^-9〔C〕の負の点電荷が置かれている。正三角形の残る頂点を点Cとし、点Cより下した垂線と正三角形の辺ABとの交点を点Dとして、次の(a)及び(b)に答えよ。ただし、クーロンの法則の比例定数を9×10⁹〔N·m²/C²〕とする。

（a）q₀の正の点電荷を点Cに置いたときの力の大きさをF_C、点Dに移動したときの力の大きさをF_Dとする。力の大きさの比F_C/F_Dの値として、正しいのは次のうちどれか。

（1）1/8　（2）1/4　（3）2　（4）4　（5）8

（b）q₀を点Cに戻し、強さ0.5V/mの一様電界を辺ABに平行に点Bから点Aの向きに加えたところ、q₀に電界の向きと逆向きに2×10^-9Nの力が働いた。正の点電荷q₀〔C〕の値として、正しいのは次のうちどれか。

（1）4/3×10^-9　（2）2×10^-9　（3）4×10^-9　（4）4/3×10^-8　（5）2×10^-8

図　一辺6mの正三角形の頂点A（+4×10⁻⁹C）・B（−4×10⁻⁹C）と頂点C・辺ABの中点D（問題図）

出題のポイント：まず力の矢印を描いてから成分に分ける

正三角形の頂点に $+4\times10^{-9}\;\mathrm{C}$ と $-4\times10^{-9}\;\mathrm{C}$ を置きます。正の試験電荷が受ける力の向きを最初に確定させるのが鉄則です。

どの電荷から	符号	正の試験電荷への力	向き
A（$+4\times10^{-9}$）	正	斥力	Aから遠ざかる
B（$-4\times10^{-9}$）	負	引力	Bへ近づく

この2つの力は、どちらも「AからBへ向かう」成分を持ちます。Aから逃げる向きも、Bへ引かれる向きも、大まかにはA→Bの方向——だから打ち消し合わずに強め合います。

正三角形ABCと中点Dで正の試験電荷がAの正電荷とBの負電荷から受ける力の向きを示す図 — Cでは鉛直成分が相殺し、Dでは2力がAからBへの同方向に加わります。

(a) の解説：点Cと点Dで合成のしかたが違う

STEP1　点C（頂点）での力

Cから見るとAもBも距離6 m——2力の大きさが等しいので、対称性が使えます。

$$F_0=\frac{kq\,q_0}{6^2}\quad(\text{A・Bそれぞれから})$$

❶ 大きさは同じ

$$F_C=2F_0\cos60^\circ=2F_0\times\frac12=F_0$$

❷ 鉛直成分が相殺
合成しても1力分

2力のなす角が120°なので、合成の大きさは元の1力と同じになります（バッチ21の令和4年度上期A問題2と同じ構造です）。鉛直成分が打ち消し合い、水平成分だけが残ります。

STEP2　点D（ABの中点）での力

Dから見るとAもBも距離3 m——距離が半分なので力は4倍です。

$$F_{\text{各}}=\frac{kq\,q_0}{3^2}=4F_0$$

❸ 距離が半分→力は4倍
逆2乗則

$$F_D=4F_0+4F_0=8F_0$$

❹ 2力が同じ向き
そのまま足し算

Dでは2力が完全に同じ向き（A→B）です。Aからの斥力は右向き、Bへの引力も右向き——一直線上なので単純に加算されます。

STEP3　比を求める

$$\frac{F_C}{F_D}=\frac{F_0}{8F_0}=\frac18$$

❺ 8倍の差

成分計算でも確認しました。$q_0=1$ として座標を置くと、Cでの合力は $(1.000,\;0.000)$、Dでの合力は $(8.000,\;0.000)$——手計算と完全に一致します ✓

点Cと点Dに働くクーロン力を成分分解してFCとFDの比が1対8になることを示す図 — Cでは2F₀cos60°＝F₀、Dでは距離が半分で各力4F₀が2本となるため、比は1/8です。

答え(a) $F_C/F_D=1/8$　→　選択肢(1)

(b) の解説：2つの電界を差し引く

点Cに外部から一様電界0.5 V/m（B→Aの向き）を加えます。点電荷がつくる電界と向きが逆なので、差し引きます。

点Cでの合成電界

$$E_{\text{点電荷}}=\frac{kq}{6^2}\times2\cos60^\circ=\frac{kq}{36}$$

※(a)と同じ構造。2つの電界の鉛直成分が相殺し、A→B向きの成分だけが残ります。

$$E_{\text{点電荷}}=\frac{9\times10^9\times4\times10^{-9}}{36}=1.0\;[\mathrm{V/m}]\;(\text{A}\to\text{B})$$

❻ 点電荷がつくる電界

$$E_{\text{合成}}=1.0-0.5=0.5\;[\mathrm{V/m}]\;(\text{A}\to\text{B})$$

❼ 一様電界は逆向き
差し引く

$$q_0=\frac{F}{E_{\text{合成}}}=\frac{2\times10^{-9}}{0.5}=4\times10^{-9}\;[\mathrm{C}]$$

❽ 力から逆算

力の向きの確認：合成電界はA→B向き、一様電界はB→A向き——力は一様電界と逆向きです。問題文の記述と一致します ✓

答え(b) $q_0=4\times10^{-9}\;[\mathrm{C}]$　→　選択肢(3)

点Cの点電荷による合成電界と外部一様電界を差し引いてq0を求める解答図 — 点電荷による1 N/Cから外部電界0.5 N/Cを引き、q₀＝4×10⁻⁹ Cを得ます。

(b) には注意すべき「偶然の一致」がある

正味の電界が $1.0-0.5=0.5\;\mathrm{V/m}$——偶然にも一様電界の値と同じ0.5になっています。

そのため「一様電界だけで計算する」という誤った方法でも、同じ答えが出てしまいます。$2\times10^{-9}/0.5=4\times10^{-9}$——正解と一致します。

計算方法	使った電界	得られる $q_0$	正しいか
正しい：合成電界で割る	$1.0-0.5=0.5$	$4\times10^{-9}$	○
誤り：一様電界だけ	0.5	$4\times10^{-9}$	答えは合うが理由が誤り
誤り：点電荷の電界だけ	1.0	$2\times10^{-9}$	×（選択肢(2)）
誤り：2つを足す	$1.0+0.5=1.5$	$1.33\times10^{-9}$	×（選択肢(1)）

「たまたま合った」で済ませると、数値が変わったときに崩れます。点電荷の電界1.0 V/mを求め、そこから一様電界0.5 V/mを引く——この手順を踏むことが大事です。

逆に「2つを足す」誤りは選択肢(1)に着地します。向きが逆なら引き算——問題文が「電界の向きと逆向きに力が働いた」と書いているのは、合成電界が一様電界より強い側に残ったことを示すヒントです。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 力の矢印を先に描く（正電荷から遠ざかり、負電荷へ近づく）
② 対称な位置では成分が相殺する——計算量が半分になる
③ 距離が半分なら力は4倍（逆2乗則）
④ 一直線上の2力はそのまま加算、120°なら1力分
⑤ 電界を合成するときは向きを確認して足すか引くかを決める

💡 覚え方
「Cは相殺して1力、Dは一直線で8力」。Cでは120°の2力が合成されて1力分、Dでは距離が半分（力4倍）の2力が同じ向きで8力分——だから比は1/8です。

⚠️ よくある間違い
点Cで2力を単純に足す（$2F_0$ とする）のが最頻出です。120°をなすので合成は $F_0$ です。(b)では2つの電界を足してしまうと選択肢(1)に着地します。向きが逆なので引き算です。

まとめ

(a) F_C	kqq₀/36
(a) F_D	2kqq₀/9
(a) 比	F_C/F_D＝1/8 → (1)
(b) 点電荷の合成電界	1 N/C（A→B）
(b) 外部電界	0.5 N/C（B→A）
(b) q₀	4×10⁻⁹ C → (3)