静電界52【電験3種 理論】静電界の記述で誤りはどれ？電束の数は誘電率に依存しない！平成23年 A問題1 完全解説

今回は平成23年度 理論科目 A問題1を解説します。静電界に関する記述(1)〜(5)のうち、誤っているものを1つ選ぶ論述問題です。導体・電気力線・電束の基本性質を確認します。

ポイントは、電験でいう電束の数はDの閉曲面フラックスであり、Qに等しく誘電率εに無関係という点です。均一な誘電体ではD＝εEなので、Eのフラックス、すなわち電気力線の総数はQ/εとなります。両方がεに依存するとした記述(3)が誤りです。

平成23年度 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成23年度 A問題1

　静電界に関する記述として、誤っているものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(1) 電気力線は、導体表面に垂直に出入りする。
(2) 帯電していない中空の球導体Bが接地されていないとき、帯電した導体Aを導体Bで包んだとしても、導体Bの外部に電界ができる。
(3) Q〔C〕の電荷から出る電束の数や電気力線の数は、電荷を取り巻く物質の誘電率ε〔F/m〕によって異なる。
(4) 導体が帯電するとき、電荷は導体の表面にだけ分布する。
(5) 導体内部は等電位であり、電界は零である。

出題のポイント：Dの全電束とEのフラックスを区別する

電験でいう電束の数は電束密度Dの閉曲面フラックスであり、点電荷Qを囲むと∮D・dS＝Qです。これは周囲の誘電率εに依存しません。一方、均一な誘電体ではD＝εEなので、Eのフラックスは∮E・dS＝Q/εとなり、電気力線の総数はεに依存します。両方がεに依存するとした記述(3)が誤りです。

ポイント解説：全電束はQ、電気力線の総数はQ/ε

点電荷Qを囲む閉曲面Sについて、電束密度Dのガウスの法則は∮_SD・dS＝Qです。したがって、Dの全電束Φ_DはQに等しく、誘電率εに依存しません。均一な誘電体ではD＝εEなので、EのフラックスはΦ_E＝Q/εとなり、電気力線の総数はεに依存します。

電気力線や電束線は場を表すための仮想的な線です。本問では、DのフラックスとEのフラックスを区別するとともに、導体に関する記述では静電平衡時の表面電界・誘導電荷・導体材料内部の性質を確認します。

問題の解説：5記述を静電平衡とガウスの法則で判定する

STEP1　（1）（2）を確認する

(1) 静電平衡では導体表面の接線方向電界が0なので、電気力線は導体表面に垂直に出入りします。したがって正しい記述です。(2) 導体Aの電荷をQとすると、非接地で全体として中性の中空導体Bには内面−Q、外面＋Qが誘導されます。外面の＋QによりBの外部にも電界ができるため、これも正しい記述です。ここで接地が必要なのは、内部の帯電体が外部に作る電界を消したい場合です。

STEP2　（3）が誤りである理由

点電荷Qを囲む閉曲面Sについて、Dの全電束はガウスの法則より$$\Phi_D=\oint_S \vec{D}\cdot d\vec{S}=Q$$です。これはεに依存しません。一方、均一な誘電体ではD＝εEなので、$$\Phi_E=\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon}$$となります。したがって、電束の数と電気力線の数の両方がεによって異なるとした(3)は誤りです。

STEP3　（4）（5）を確認する

(4) 静電平衡時の導体の余剰電荷は表面に分布します。空洞がある場合は内面と外面の両方が「表面」に含まれるため、正しい記述です。(5) 静電平衡時の導体材料内部は等電位で、電界は0なので正しい記述です。ただし、電荷を含む空洞部分まで電界が0という意味ではありません。したがって誤りは(3)です。

答え：(3)（電束の数は電荷Qに等しくεに無関係）

まとめ

(1)	静電平衡では電気力線は導体表面に垂直 → 正しい
(2)	非接地中空導体の外面に＋Qが誘導され外部電界が残る → 正しい
(3)	「電束も電気力線もεに依存する」は誤り。正しくはΦD＝Qはεに無関係、ΦE＝Q/εはεに依存
(4)	静電平衡時の余剰電荷は導体表面に分布 → 正しい
(5)	導体材料内部は等電位でE＝0 → 正しい
答え	(3)

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