静電界55【電験3種 理論】空気コンデンサと誘電体コンデンサで内部電界と電荷は何倍？平成22年 A問題2 完全解説

今回は平成22年度 理論科目 A問題2を解説します。電極板面積と間隔が同一で、一方が空気（コンデンサA）、他方が固体誘電体ε_r＝4（コンデンサB）のコンデンサに同じ電圧Vを加えたとき、Bの内部電界と電荷がAの何倍になるかを求める問題です。

端効果を無視し、極板間全体を均一な媒質が満たす本問では、電界E＝V/dなのでAとBの内部電界は同じ（1倍）です。一方、D＝εEより、比誘電率4のBでは電束密度Dが4倍になります。極板面積をSとするとQ＝DSなので、Bの極板電荷は4倍です。

平成22年度 理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成22年度 A問題2

　図に示すように、電極板面積と電極板間隔がそれぞれ同一の2種類の平行平板コンデンサがあり、一方を空気コンデンサA、他方を固体誘電体（比誘電率ε_r＝4）が満たされたコンデンサBとする。両コンデンサにおいて、それぞれ一方の電極に直流電圧V〔V〕を加え、他方の電極を接地したとき、コンデンサBの内部電界〔V/m〕及び電極板上に蓄えられた電荷〔C〕はコンデンサAのそれぞれ何倍となるか。その倍率として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。ただし、空気の比誘電率を1とし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

内部電界の倍率と電荷の倍率について、正しい組合せを次の表から選びます。

	内部電界	電荷
(1)	1	4
(2)	4	4
(3)	1/4	4
(4)	4	1
(5)	1	1

出題のポイント：同じV・dならEは同じ、DとQは4倍

端効果を無視し、極板間全体を均一な媒質が満たす本問では、両コンデンサの電圧Vと間隔dが同じなのでE_A＝E_B＝V/dです。一方、D＝εEより、比誘電率4のBではDがAの4倍になります。極板面積Sも同じでQ＝DSなので、Bの極板電荷はAの4倍です。

ポイント解説：Eは1倍、ε・D・C・Qは4倍

端効果を無視し、極板間全体を一様な媒質が満たす平行平板コンデンサではE＝V/dです。AとBは極板間電圧Vと間隔dが同じなので、$$E_A=E_B=\frac{V}{d}$$となり、内部電界の倍率は1です。

極板面積をSとすると、AではD_A＝ε₀E_A、BではD_B＝4ε₀E_Bです。E_A＝E_BなのでD_B＝4D_Aとなり、Q＝DSよりQ_B＝4Q_Aです。容量で見てもC_A＝ε₀S/d、C_B＝4ε₀S/dです。

問題の解説：内部電界1倍・電荷4倍から選択肢(1)を選ぶ

STEP1　内部電界の比を求める

AとBは同じ極板間電圧V、同じ間隔dであり、それぞれの極板間全体を均一な媒質が満たしています。したがって、$$E_A=E_B=\frac{V}{d},\qquad \frac{E_B}{E_A}=1$$となり、内部電界の倍率は1倍です。

STEP2　電荷の比を求める

極板面積をSとすると、$$C_A=\frac{\varepsilon_0S}{d},\qquad C_B=\frac{4\varepsilon_0S}{d}=4C_A$$です。両方に同じ電圧Vが加わっているので、$$\frac{Q_B}{Q_A}=\frac{C_BV}{C_AV}=\frac{C_B}{C_A}=4$$となり、電荷の倍率は4倍です。

STEP3　組合せを選ぶ

内部電界1倍・電荷4倍なので、(1)です。

答え：(1)（内部電界1倍・電荷4倍）

まとめ

内部電界	EB/EA＝1
電束密度	D＝εEよりDB/DA＝4
静電容量	CB/CA＝4
極板電荷	Q＝DS＝CVよりQB/QA＝4
答え	(1) 内部電界1倍・電荷4倍

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