今回は平成21年度 理論科目 A問題1を解説します。比誘電率の異なる2つの平行板コンデンサC1（εr1）・C2（εr2）を並列接続し電圧V0を加えたときの、（ア）電界E、（イ）電束密度D、（ウ）電荷Qを求める空欄補充問題です。
並列なので両方に同じ電圧V0がかかり、極板間隔もともにdであるため、電界の強さはE1＝E2＝V0/dです。電束密度D＝ε0εrEと、電極に蓄えられる自由電荷の大きさQ＝DSは、それぞれの比誘電率に比例します。
平成21年度 理論科目 A問題1：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成21年度 A問題1
電極板面積と電極板間隔が共にS〔m2〕とd〔m〕で、一方は比誘電率がεr1の誘電体からなる平行平板コンデンサC1、他方は比誘電率がεr2の誘電体からなる平行平板コンデンサC2がある。いま、これらを図のように並列に接続し、端子A、B間に直流電圧V0〔V〕を加えた。このとき、コンデンサC1の電極板間の電界の強さをE1〔V/m〕、電束密度をD1〔C/m2〕、また、コンデンサC2の電極板間の電界の強さをE2〔V/m〕、電束密度をD2〔C/m2〕とする。両コンデンサに蓄えられる電荷をそれぞれQ1〔C〕、Q2〔C〕とする。ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は無視できるものとし、真空の誘電率をε0〔F/m〕とする。
空白箇所（ア）E1・E2、（イ）D1・D2、（ウ）Q1・Q2に当てはまる式の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（ア）E1・E2 （イ）D1・D2 （ウ）Q1・Q2 (1) εr1V0/d
εr2V0/dεr1SV0/d
εr2SV0/dε0εr1SV0/d
ε0εr2SV0/d(2) εr1V0/d
εr2V0/dε0εr1V0/d
ε0εr2V0/dε0εr1SV0/d
ε0εr2SV0/d(3) V0/d
V0/dε0εr1SV0/d
ε0εr2SV0/dε0εr1V0/d
ε0εr2V0/d(4) V0/d
V0/dε0εr1V0/d
ε0εr2V0/dε0εr1SV0/d
ε0εr2SV0/d(5) ε0εr1SV0/d
ε0εr2SV0/dε0εr1V0/d
ε0εr2V0/dε0SV0/d
ε0SV0/d
出題のポイント：並列ではVとdが共通、誘電率はDとQに現れる
C1とC2は並列なので、両コンデンサの電圧はV0で共通です。極板間隔もともにdであるため、電界の強さはE1＝E2＝V0/dとなります。一方、電束密度はD＝ε0εrE、電極の自由電荷の大きさはQ＝DSなので、DとQはそれぞれの比誘電率に比例します。したがってE1:E2＝1:1、D1😀2＝Q1:Q2＝εr1:εr2です。
ポイント解説：EからD、DからQへ順に求める
並列接続なので両方のコンデンサに同じ電圧V0がかかります。本問では極板間隔もともにdで、誘電体は一様、端効果は無視できるため、電界の強さはE1＝E2＝V0/dです。電圧源がV0を一定に保つこの条件では、Eは比誘電率に依存しません。
電束密度はD＝ε0εrEです。また、端効果を無視した平行平板コンデンサではDの法線成分が電極表面の自由電荷密度に等しいため、電極に蓄えられる自由電荷の大きさはQ＝DSです。したがってDとQはそれぞれの比誘電率に比例します。
問題の解説：C1・C2のE、D、Qを比較して選択肢(4)
STEP1 （ア）電界を求める
並列接続では各コンデンサの端子電圧がV0で共通です。極板間隔もともにdなので、端効果を無視した一様電界の強さは、$$E_1=E_2=\frac{V_0}{d}$$となります。この結果は、本問のように電圧と極板間隔が等しい条件では比誘電率に依存しません。
STEP2 （イ）電束密度を求める
誘電体中ではD＝εE＝ε0εrEです。したがって、$$D_1=\varepsilon_0\varepsilon_{r1}\frac{V_0}{d},\qquad D_2=\varepsilon_0\varepsilon_{r2}\frac{V_0}{d}$$となり、D1/D2＝εr1/εr2です。
STEP3 （ウ）電荷を求める
電極面積はともにSなので、電極に蓄えられる自由電荷の大きさQ＝DSより、$$Q_1=\varepsilon_0\varepsilon_{r1}\frac{SV_0}{d},\qquad Q_2=\varepsilon_0\varepsilon_{r2}\frac{SV_0}{d}$$となります。これはCi＝ε0εriS/dとQi＝CiV0からも確認できます。したがって組合せは(4)です。
答え：(4)（E＝V₀/d、D＝ε₀εrV₀/d、Q＝ε₀εrSV₀/d）
💡 覚え方
並列は電圧共通で電界E＝V0/d（εに無関係）。電束密度D＝ε0εrE、電荷Q＝DSはεrに比例。
⚠️ よくある間違い
本問では電圧V0と極板間隔dが共通なので、電界E＝V0/dへεrを掛けません。εrが現れるのはD＝ε0εrEと、電極の自由電荷Q＝DSです。ただし、一般にどの条件でもEが誘電率と無関係という意味ではありません。
まとめ
| (ア)電界 | E1＝E2＝V0/d |
| (イ)電束密度 | D1＝ε0εr1V0/d、D2＝ε0εr2V0/d |
| (ウ)自由電荷 | Q1＝ε0εr1SV0/d、Q2＝ε0εr2SV0/d |
| 比と答え | E1:E2＝1:1、D1😀2＝Q1:Q2＝εr1:εr2、答え(4) |
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