静電界35【電験3種理論】固体誘電体を挿入した平行板コンデンサの電位分布と比誘電率！平成30年 B問題17 完全解説

2026年7月11日2026年7月20日

今回は平成30年度理論科目 B問題17を解説します。極板間距離5dの平行板コンデンサに、厚さ4dの固体誘電体（比誘電率4）を挿入し、残り厚さdを空気ギャップとした構成で、（a）極板間の電位分布のグラフ、（b）電界の条件から比誘電率ε_rを求める問題です。

自由界面電荷がなく端効果を無視する本問では、境界に垂直な電束密度Dが共通です。電界E＝D/εより空気中の電界は固体中の4倍ですが、厚さは1/4なので、両層の電圧降下はともにV₀/2です。電位はx＝4dでV₀/2となり、傾きを変えながら連続します。

平成30年度理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目静電界平成30年度 B問題17 問題文 — 平成30年度理論科目 B問題17 問題文

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成30年度 B問題17

　空気（比誘電率1）で満たされた極板間距離5d〔m〕の平行板コンデンサがある。図のように、一方の極板と大地との間に電圧V₀〔V〕の直流電源を接続し、極板と同形同面積で厚さ4d〔m〕の固体誘電体（比誘電率4）を極板と接するように挿入し、他方の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

（a）極板間の電位分布を表すグラフ（縦軸：電位V〔V〕、横軸：電源が接続された極板からの距離x〔m〕）として、最も近いものを図中の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（b）V₀＝10kV、d＝1mmとし、比誘電率4の固体誘電体を比誘電率ε_rの固体誘電体に差し替え、空気ギャップの電界の強さが2.5kV/mmとなったとき、ε_rの値として最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.75　（2）1.00　（3）1.33　（4）1.67　（5）2.00

図　固体誘電体（厚さ4d）と空気ギャップ（厚さd）の平行板コンデンサと電位分布の選択肢(1)〜(5)（問題図）

出題のポイント：Dは連続、電位は傾きを変えて連続

電源側から厚さ4dの固体誘電体と厚さdの空気を配置した平行板コンデンサの図 — 固体と空気でDは共通ですが、空気の電界は固体中の4倍です。

自由界面電荷がなく端効果を無視する本問では、誘電体と空気の境界に垂直な電束密度Dが共通です。したがってE＝D/εより、比誘電率4の固体中より空気中の電界が4倍になります。固体は厚さ4d、空気は厚さdなので、両層の電圧降下はともにV₀/2です。電位はx＝4dで連続し、傾きだけが変わります。

ポイント解説：4dの誘電体とdの空気で電圧を分ける

固体誘電体と空気の電圧降下がともにV0毎2となる理由を示す図 — 二層の等価容量が等しいため、直列の電圧降下はそれぞれV₀/2です。

誘電体と空気の界面に自由電荷がなく、端効果を無視する本問では、境界に垂直な電束密度Dが共通です。E＝D/εより、比誘電率1の空気中の電界は、比誘電率4の固体中の4倍になります。

（a）は各層の電圧降下からx＝4dでの電位（折れ点）を求めます。（b）は空気ギャップの電界の条件式から比誘電率ε_rを逆算します。

問題の解説：折れ点V₀/2と比誘電率4/3を導く

電位分布グラフの折れ点と空気電界から比誘電率4毎3を求める計算図 — （a）はグラフ(3)、（b）はεr＝4/3より選択肢(3)です。

STEP1　（a）各層の電界と電圧降下を求める

誘電体内の電界をE₁、空気ギャップの電界をE₂とすると、Dが共通なのでE₂＝4E₁。極板間電圧の合計から、$$V_0=E_1\cdot4d+E_2\cdot d=E_1\cdot4d+4E_1\cdot d=8E_1 d$$よってE₁＝V₀/(8d)です。

誘電体での電圧降下はE₁×4d＝V₀/2、空気での電圧降下もE₂×d＝V₀/2。したがって、$$V(4d)=V_0-\frac{V_0}{2}=\frac{V_0}{2}$$

STEP2　（a）グラフを選ぶ

電位は x＝0〜4d（誘電体）で V₀ から V₀/2 までゆるやかな傾きで下がり、x＝4d〜5d（空気）では V₀/2 から 0 まで4倍の大きさの傾きで連続して下がります。境界で電位は飛びません。x＝4dでV₀/2となる折れ線が正解なので、(3)です。

STEP3　（b）比誘電率ε_rを求める

界面に自由電荷がないためDは共通で、誘電体の電界はE₂/ε_rです。空気ギャップの電界E₂を使うと、$$V_0=E_2\,d\left(\frac{4}{\varepsilon_r}+1\right)$$が成り立ちます。E₂＝2.5kV/mm、d＝1mm、V₀＝10kVを代入すると、$$10=2.5\left(\frac{4}{\varepsilon_r}+1\right)\;\Rightarrow\;\frac{4}{\varepsilon_r}=3\;\Rightarrow\;\varepsilon_r=\frac{4}{3}\approx1.33$$です。確認すると、空気層2.5kVと固体層7.5kVの合計は10kVになります。

したがって（b）は(3)です。

答え：(a)-(3)、(b)-(3)（ε_r＝4/3≒1.33）

💡 覚え方
直列は電束密度D一定、電界E＝D/ε。各層の電圧降下＝E×厚さ。空気ギャップの式 V₀＝E_空d(4/ε_r＋1) が便利。

⚠️ よくある間違い
電界が「厚い層ほど強い」ではありません。直列では比誘電率が小さい層（空気）ほど電界が強く、電圧降下は厚さ×電界で決まります。

まとめ

直列の性質	電束密度D一定、E＝D/ε
(a)x＝4dの電位	V₀/2（折れ点）…(3)
(b)条件式	10＝2.5(4/ε_r＋1)
(b)比誘電率	ε_r＝4/3≒1.33 …(3)