静電界35【電験3種 理論】固体誘電体を挿入した平行板コンデンサの電位分布と比誘電率！平成30年 B問題17 完全解説

今回は平成30年度 理論科目 B問題17を解説します。極板間距離5dの平行板コンデンサに、厚さ4dの固体誘電体（比誘電率4）を挿入し、残り厚さdを空気ギャップとした構成で、（a）極板間の電位分布のグラフ、（b）電界の条件から比誘電率ε_rを求める問題です。

自由界面電荷がなく端効果を無視する本問では、境界に垂直な電束密度Dが共通です。電界E＝D/εより空気中の電界は固体中の4倍ですが、厚さは1/4なので、両層の電圧降下はともにV₀/2です。電位はx＝4dでV₀/2となり、傾きを変えながら連続します。

平成30年度 理論科目 B問題17：問題文と選択肢

固体誘電体（厚さ4d）と空気（厚さd）の2層です。厚さも誘電率も違うのに、電圧降下は両方とも \(V_0/2\)——その理由から見ていきます。まずは問題文を確認しましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成30年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 B問題17

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成30年度 B問題17

　空気（比誘電率1）で満たされた極板間距離5d〔m〕の平行板コンデンサがある。図のように、一方の極板と大地との間に電圧V₀〔V〕の直流電源を接続し、極板と同形同面積で厚さ4d〔m〕の固体誘電体（比誘電率4）を極板と接するように挿入し、他方の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

（a）極板間の電位分布を表すグラフ（縦軸：電位V〔V〕、横軸：電源が接続された極板からの距離x〔m〕）として、最も近いものを図中の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（b）V₀＝10kV、d＝1mmとし、比誘電率4の固体誘電体を比誘電率ε_rの固体誘電体に差し替え、空気ギャップの電界の強さが2.5kV/mmとなったとき、ε_rの値として最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.75　（2）1.00　（3）1.33　（4）1.67　（5）2.00

出題のポイント：厚い固体と薄い空気で、電圧降下がちょうど半分ずつ

固体誘電体（\(\varepsilon_r=4\)、厚さ \(4d\)）と空気（厚さ \(d\)）の2層です。厚さも誘電率も違うのに、電圧降下は両方とも \(V_0/2\) になります。

「電界1/4だが厚さ4倍」で相殺——これが等分になる理由です。容量で見ても同じことが確認できます。

層	誘電率	厚さ	等価容量	電圧降下
固体誘電体	\(4\varepsilon_0\)	\(4d\)	\(\dfrac{4\varepsilon_0A}{4d}=\dfrac{\varepsilon_0A}{d}\)	\(V_0/2\)
空気	\(\varepsilon_0\)	\(d\)	\(\dfrac{\varepsilon_0A}{d}\)	\(V_0/2\)

2つの容量が完全に等しい——だから直列の電圧も等分されます。「誘電率4倍・厚さ4倍」が打ち消し合っているのです。

(a) の解説：電位グラフは「傾きが変わる折れ線」

電位の分布を図で選ぶ問題です。3つの特徴で判別できます。

区間	傾き（電界の大きさ）	電位の変化
\(x=0\sim4d\)（固体）	ゆるやか（\(E_1=V_0/8d\)）	\(V_0\) → \(V_0/2\)
\(x=4d\sim5d\)（空気）	急（\(4E_1\)＝4倍）	\(V_0/2\) → 0

境界で電位は飛びません。折れ線として連続し、傾きだけが変わります。電位が不連続に飛ぶ図は誤りです。

折れ点の位置は \((4d,\;V_0/2)\)——横軸の8割の位置で、縦軸はちょうど半分。この1点を確認すれば図が選べます。

(b) の解説：空気ギャップの電界から比誘電率を逆算する

検算：\(\varepsilon_r=4/3\) なら固体の電界は \(2.5\div(4/3)=1.875\;\mathrm{kV/mm}\)、電圧降下は \(1.875\times4=7.5\;\mathrm{kV}\)。空気の2.5 kVと足して10 kV ✓

誤答の正体：「1を引く」を忘れる

誤り方	計算	得られる \(\varepsilon_r\)	選択肢との対応
\(4/\varepsilon_r=4\) とする（1を引き忘れ）	\(\varepsilon_r=1\)	1.00	(2) に一致
逆数を取り忘れる	\(\varepsilon_r=3\)	3.00	選択肢になし
差し替え前の値のまま	\(\varepsilon_r=4\)	4.00	選択肢になし
正しい計算	\(4/3\)	1.33	(3) に一致

(2)の1.00が最も引っかかりやすい誤りです。\(10/2.5=4\) まで出したところで、その4を \(4/\varepsilon_r\) だと勘違いすると \(\varepsilon_r=1\) になります。

\(\varepsilon_r=1\) は「空気と同じ」という意味——全体が空気なら電界はどこも \(10/5=2\;\mathrm{kV/mm}\) で、条件の2.5 kV/mmになりません。物理的に検算すれば気づけます。

比誘電率が4から4/3へ「下がった」ことにも注目してください。誘電率を下げると固体層の電界が上がり、空気層に回る電圧が減る——だから空気の電界が2 kV/mmから2.5 kV/mmへ上がったのです。

本番で使える時間短縮テクニック

まとめ

直列の性質	電束密度D一定、E＝D/ε
(a)x＝4dの電位	V0/2（折れ点）…(3)
(b)条件式	10＝2.5(4/εr＋1)
(b)比誘電率	εr＝4/3≒1.33 …(3)

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・直列コンデンサの電界の関連問題：【理論】令和5年度下期A問題2