静電界26【電験3種 理論】誘電体を積層・並置したコンデンサの電界とエネルギー比！令和3年 B問題17 完全解説

今回は令和3年度 理論科目 B問題17を解説します。3種類の誘電体を縦に積層したコンデンサA（直列）と横に並置したコンデンサB（並列）について、（a）コンデンサA内部の電界の大小関係と最大値、（b）両コンデンサの蓄積エネルギーの比を求める問題です（令和5年度上期B問題17と同一）。

自由電荷のない界面をもつ1次元近似の直列（A）では電束密度D＝εEが一定で、誘電率が小さい層ほど電界Eが大きくなります。（b）は同じ電圧なので静電容量の比＝エネルギーの比で、コンデンサAのエネルギーがBの何倍かを求めます。

令和3年度 理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 令和3年度 B問題17

　図のように、極板間の厚さd〔m〕、表面積S〔m²〕の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれE_A1、E_A2、E_A3、コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれE_B1、E_B2、E_B3とし、端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。両コンデンサの上側の極板に電圧V〔V〕の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）コンデンサAにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	電界の大小関係	最大値〔V/m〕
(1)	EA1＞EA2＞EA3	3V/5d
(2)	EA1＜EA2＜EA3	3V/5d
(3)	EA1＝EA2＝EA3	V/d
(4)	EA1＞EA2＞EA3	9V/5d
(5)	EA1＜EA2＜EA3	9V/5d

（b）コンデンサA全体の蓄積エネルギーは、コンデンサB全体の蓄積エネルギーの何倍か。最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）0.72　（2）0.83　（3）1.00　（4）1.20　（5）1.38倍

出題のポイント：積層AはD共通、並置BはV共通

構成Aは誘電体を厚さ方向に重ねた直列モデルで、自由電荷のない界面をもつ1次元近似では電束密度Dが共通です。構成Bは面積方向に並べた並列モデルで、各領域の電圧Vが共通です。配置を先に見分けると、電界比と容量の式を正しく選べます。

ポイント解説：電界比と容量を配置から判定する

コンデンサA（縦積み）は直列接続です。誘電体界面に自由電荷がない1次元近似では、各層を貫く電束密度D＝εEが共通です。誘電率εが小さい層ほど電界E＝D/εが大きくなります。

コンデンサB（横並び）は並列接続で電圧が共通です。エネルギーはW＝½CV²なので、同じ電圧ならエネルギーの比＝静電容量の比です。本問はAのエネルギーがBの何倍かを問うています。

問題の解説：最大電界9V/5d、エネルギー比54/65

STEP1　（a）コンデンサA内部の電界の大小と最大値

誘電体界面に自由電荷がないためDが共通なので、E＝D/εより誘電率2ε₀、3ε₀、6ε₀の各層の電界比は$$E_{A1}:E_{A2}:E_{A3}=\frac12:\frac13:\frac16=3:2:1$$で、E_A1＞E_A2＞E_A3。

電圧の和V＝(D/ε₀)d(1/12＋1/9＋1/12)＝(5/18)(Dd/ε₀)よりD/ε₀＝18V/(5d)。最大はE_A1＝D/(2ε₀)＝9V/5d。よって（a）は(4)です。

STEP2　（b）コンデンサA・Bの静電容量を求める

コンデンサA（直列）：$$\frac{1}{C_A}=\frac{d/6}{2\varepsilon_0 S}+\frac{d/3}{3\varepsilon_0 S}+\frac{d/2}{6\varepsilon_0 S}=\frac{5}{18}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 S}\;\Rightarrow\;C_A=\frac{18}{5}\cdot\frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

コンデンサB（並列）：$$C_B=\frac{2\varepsilon_0(S/6)+3\varepsilon_0(S/3)+6\varepsilon_0(S/2)}{d}=\frac{13}{3}\cdot\frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

STEP3　（b）エネルギー比（A/B）を求める

同じ電圧なのでエネルギー比は容量比に等しく、$$\frac{W_A}{W_B}=\frac{C_A}{C_B}=\frac{18/5}{13/3}=\frac{18}{5}\times\frac{3}{13}=\frac{54}{65}\fallingdotseq 0.83$$

したがって（b）は(2) 0.83倍です。

答え：(a)-(4)、(b)-(2)（最大電界9V/5d、A/Bエネルギー比≒0.83）

まとめ

(a)電界	EA1＞EA2＞EA3、最大9V/5d …(4)
CA（直列）	(18/5)ε0S/d
CB（並列）	(13/3)ε0S/d
(b)A/Bエネルギー比	54/65≒0.83 …(2)

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