静電界32【電験3種理論】接地導体上の点電荷の電気力線と鏡像法による仕事！令和元年 B問題15 完全解説

2026年7月11日2026年7月20日

今回は令和元年度理論科目 B問題15を解説します。接地した導体の床から高さhの位置に正の点電荷Qがあるとき、（a）床より上側の電気力線の様子、（b）鏡像法を使って点電荷を引き上げるのに必要な仕事を求める問題です。

接地導体面より上側の電界は、床下の対称位置に仮想的な鏡像電荷−Qを置いた場と一致します。（a）等電位な導体面へ電気力線は垂直に達します。（b）高さxでの静電力は下向きで、その大きさF＝Q²/(16πε₀x²)に等しい上向き外力を積分して仕事を求めます。

令和元年度理論科目 B問題15：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種理論科目静電界令和元年度 B問題15 問題文 — 令和元年度理論科目 B問題15 問題文

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】令和元年度 B問題15

　図のように、平らで十分大きい導体でできた床から高さh〔m〕の位置に正の電気量Q〔C〕をもつ点電荷がある。点電荷から床に下ろした垂線の足を点O、床より上側の空間は真空とし、床の導体は接地されている。真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）床より上側の電界は、点電荷のつくる電界と、床の表面に静電誘導によって現れた面電荷のつくる電界との和になる。床より上側の電気力線の様子として適切なものを、下図(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（b）点電荷は床表面に現れた面電荷から鉛直方向の静電吸引力Fを受ける。その力は床のない状態で点Oに固定した電気量-Q/4の点電荷から受ける静電力に等しい。Fに逆らって点電荷を高さhからz（ただしh＜z）まで鉛直方向に引き上げるのに必要な仕事W〔J〕を表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）Q²/(4πε₀z²)　（2）(Q²/4πε₀)(1/h-1/z)　（3）(Q²/16πε₀)(1/h-1/z)　（4）Q²/(16πε₀z²)　（5）(Q²/πε₀)(1/h²-1/z²)

出題のポイント：等電位面への垂直条件と鏡像法

接地導体面の上にある正電荷Qから電気力線が出て導体面へ垂直に達する図 — 接地導体面は等電位面なので、電気力線は面へ垂直に達します。

接地導体面は0 Vの等電位面なので、表面に沿う電界成分はなく、電気力線は面に垂直に達します。床より上側の電界は、床下の対称位置に仮想的な鏡像電荷−Qを置いた場と一致します。高さxではQと鏡像の距離が2xなので、下向き吸引力の大きさはF＝Q²/(16πε₀x²)です。準静的に引き上げる外力の仕事は、この力をhからzまで積分します。

ポイント解説：鏡像電荷−Qから吸引力を求める

高さxの正電荷Qと深さxの鏡像電荷マイナスQによる下向き吸引力を示す図 — Qと鏡像−Qの距離は2xで、吸引力の大きさはQ²/(16πε₀x²)です。

接地した導体面より上側の電界は、点電荷Qと鏡像電荷−Qがつくる電界で表せます。鏡像電荷は床下の対称位置に置く数学的な電荷であり、実在する電荷ではありません。

（a）導体面は等電位なので、電気力線は導体面に垂直に入ります。（b）点電荷が受ける吸引力F＝Q²/(16πε₀x²)（x：高さ）を積分して仕事を求めます。

問題の解説：選択肢（2）と引き上げ仕事を導く

点電荷を高さhからzまで引き上げる仕事を静電力の積分で求める図 — W＝Q²/(16πε₀)(1/h−1/z)となり、（b）の正解は（3）です。

STEP1　（a）電気力線の様子を選ぶ

実在する電界を考える領域は床より上側です。正電荷Qから出て接地導体面へ向かう電気力線は、面に達すると垂直に終わります。床下の−Qは、この境界条件を満たす上側の電界を再現するための鏡像電荷です。

正電荷Qから矢印が外向きに出て、点O付近で密になりながら接地面へ垂直に達する図は(2)です。他の図は、矢印方向または等電位導体面に対する垂直条件を満たしません。

STEP2　（b）点電荷に働く力Fを求める

高さxにある点電荷Qは、深さxの位置に置いた鏡像電荷−Qから鉛直下向きの吸引力を受けます。両者の距離は2xなので、その大きさは$$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q^2}{(2x)^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 x^2}\;[\mathrm{N}]$$です。問題文の「点Oに置いた−Q/4から距離xで受ける力」は、Qの位置での力だけを再現する等価表現であり、上半空間全体の電界を表す鏡像電荷ではありません。

STEP3　（b）仕事Wを積分で求める

Fに逆らって高さhからzまで引き上げる仕事は、$$W=\int_h^z F\,dx=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\int_h^z\frac{dx}{x^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{z}\right)\;[\mathrm{J}]$$

したがって（b）は(3)です。

答え：(a)-(2)、(b)-(3)

💡 覚え方
接地導体面は等電位→電気力線は面に垂直。鏡像法：距離2xの-Qとの引力F＝Q²/(16πε₀x²)。仕事は積分で1/h−1/z。

⚠️ よくある間違い
力を距離の逆1乗で積分しないこと。F∝1/x²を積分すると∝(1/h−1/z)になります（1/x²の積分は−1/x）。

まとめ

(a)電気力線	導体面に垂直に入る …(2)
鏡像電荷	深さxに-Q（距離2x）
力 F	Q²/(16πε₀x²)
(b)仕事 W	(Q²/16πε₀)(1/h−1/z) …(3)