直流回路28【電験3種理論】電池n個と可変抵抗で消費電力最大のときの電流を求める！令和3年度 A問題7 完全解説

2026年7月12日2026年7月27日

電験3種理論科目電気回路（直流回路）令和3年度 A問題7 電池n個で最大電力を取り出す！そのときの電流は？

今回は令和3年度理論科目 A問題7を解説します。起電力E〔V〕・内部抵抗r〔Ω〕の同じ電池を、同じ向きにn個直列接続し、可変抵抗R〔Ω〕の消費電力が最大になるよう調整したときの回路電流I〔A〕を求めます。ポイントは、電池列を等価電源にまとめてから、最大電力条件を式で確かめることです。

電池n個の等価起電力はnE、等価内部抵抗はnrです。回路電流はI＝nE/(R＋nr)、負荷電力はP_R＝I²Rで表せます。P_RをRで微分するとR＝nrで最大となり、そのときI＝E/(2r)です。最後に電圧分配と電力分配でも結果を検算します。

令和3年度理論科目 A問題7：問題文と選択肢

電気技術者試験センター公表の問題図を確認します。各電池の向きは同じで、起電力Eと内部抵抗rをもつ電池がn個、可変抵抗Rと直列です。求めるのは「Rで消費される電力が最大のとき」の回路電流です。

電験3種理論科目直流回路令和3年度 A問題7 問題文 — 令和3年度理論科目 A問題7 問題文

電験3種理論科目【電気回路（直流回路）】令和3年度 A問題7

　図のように、起電力E〔V〕、内部抵抗r〔Ω〕の電池n個と可変抵抗R〔Ω〕を直列に接続した回路がある。この回路において、可変抵抗R〔Ω〕で消費される電力が最大になるようにその値〔Ω〕を調整した。このとき、回路に流れる電流Iの値〔A〕を表す式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）E/r　（2）nE/{(1/n＋n)r}　（3）nE/{(1＋n)r}　（4）E/(2r)　（5）nE/r

出題のポイント：電池n個をまず1個の等価電源にまとめる

同じ電池を同じ向きにn個直列につなぐと、起電力も内部抵抗も両方がn倍になります。$$E_{\text{等価}}=nE,\qquad r_{\text{等価}}=nr$$「起電力がn倍になるならパワーもn倍」と思いがちですが、内部抵抗も同時にn倍になるのがポイント。この2つが同じ比率で増えるため、あとで見るように最大電力時の電流はnによらないという面白い結果になります。

まとめてしまえば「起電力 $nE$・内部抵抗 $nr$ の電源＋負荷R」というただの直列回路です。ここまで整理してから最大電力の条件を当てはめます。

同じ向きに直列接続した起電力E・内部抵抗rの電池n個を、等価起電力nE・等価内部抵抗nrの1電源へ置き換えるGPT Image 2の出題ポイント図 — 直列接続では起電力も内部抵抗も加算されます。電池n個は等価起電力nE、等価内部抵抗nrの1つの電源として扱えます。

問題の解説：等価電源にまとめて最大電力条件を適用する

使う公式：最大電力の定理

$$P_R=I^2R=\frac{(nE)^2R}{(R+nr)^2}\quad\Longrightarrow\quad R=r_{\text{等価}}=nr\;\text{のとき最大}$$

※負荷抵抗＝電源側の内部抵抗のとき負荷が受け取る電力が最大になります。

STEP1　電池n個を1つの電源にまとめる

$$E_{\text{等価}}=nE,\qquad r_{\text{等価}}=nr$$

❶ 直列合成
起電力も内部抵抗もn倍

$$I=\frac{nE}{R+nr}$$

❷ オームの法則
全抵抗はR+nr

STEP2　微分して最大条件を確かめる

最大電力の定理を暗記で済ませず、実際に微分して確かめておきます。

$$P_R=I^2R=\frac{(nE)^2R}{(R+nr)^2}$$

❸ 負荷電力
Rの関数として書く

$$\frac{dP_R}{dR}=\frac{(nE)^2\,(nr-R)}{(R+nr)^3}$$

❹ 微分
符号は分子の $nr-R$ で決まる

$$R<nr\;\text{で正},\quad R=nr\;\text{で}0,\quad R>nr\;\text{で負}$$

❺ 増減
R=nrで唯一の最大

負荷電力P_Rの式をRで微分し、Rがnrより小さいと増加、等しいと最大、大きいと減少することをP_R対Rグラフで示すGPT Image 2のポイント解説図 — P_R＝(nE)^2R/(R＋nr)^2を微分すると、符号はnr－Rで決まります。したがって負荷電力はR＝nrで最大です。

STEP3　最大条件を電流の式に代入する

$$I=\frac{nE}{nr+nr}=\frac{nE}{2nr}=\frac{E}{2r}\;[\mathrm{A}]$$

❻ 代入
nが約分されて消える

電圧・電力の分配で確認：$R=nr$ のとき負荷と内部抵抗が等しいので、起電力 $nE$ は半分ずつに分かれます（各 $nE/2$）。電力も負荷と内部で等しく、効率はちょうど50%。最大電力を取り出す条件では、電源が出す電力の半分が内部で熱になっているわけです。

答え$I=\dfrac{E}{2r}\;[\mathrm{A}]$　→　選択肢(4)　（nに依存しない）

最大電力条件R＝nrを代入してI＝E/(2r)を導き、負荷と内部抵抗の電圧・電力が半分ずつになる検算と正答4を示すGPT Image 2の問題解説図 — R＝nrではI＝nE/(2nr)＝E/(2r)。負荷電圧と内部電圧降下は各nE/2、負荷電力と内部損失も等しく、効率は50％です。

選択肢を検証する

$n=3$、$E=1.5\;\mathrm{V}$、$r=0.5\;\Omega$（乾電池3本のイメージ）として、各選択肢の値を計算します。真値は $E/(2r)=1.5\;\mathrm{A}$ です。

選択肢	式	n=3, E=1.5, r=0.5 での値 [A]	判定
(1)	E/r	3.000	×（内部抵抗だけで短絡した値）
(2)	nE/{(1/n+n)r}	2.700	×
(3)	nE/{(1+n)r}	2.250	×
(4)	E/(2r)	1.500	○
(5)	nE/r	9.000	×（負荷を無視した短絡電流）

nが式に残っているものは全部怪しい——これが本問の見抜きどころです。(2)(3)(5)にはnが含まれていますが、正解の(4)にはありません。「電池を増やせば電流も増えるはず」という直感に反しますが、起電力も内部抵抗も同じn倍になるので相殺されるのです。

なぜ電池を増やしても電流が変わらないのか

直感的には「電池を増やせばもっと電流が流れる」と思えます。実際、負荷Rを固定すれば電池を増やすほど電流は増えます。しかし本問は「Rを最適に調整したとき」を問うています。

電池を2倍にすると起電力は2倍になりますが、内部抵抗も2倍。最大電力を得るには負荷も2倍にしなければなりません。結果、$$I=\frac{2\times(\text{起電力})}{2\times(\text{内部抵抗})+2\times(\text{負荷})}=\frac{\text{起電力}}{\text{内部抵抗}+\text{負荷}}$$と分母分子が同じ倍率で増えて相殺されます。

ただし電力は増えます。電流は同じでも電圧が $nE/2$ とn倍になるので、負荷が受け取る電力は $P=\frac{(nE)^2}{4nr}=\frac{nE^2}{4r}$ ——nに比例して増加します。「電流は変わらないが、より高い電圧でより多くの電力を送れる」——これは送電で高電圧が使われる理由とも通じる考え方です。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 電池n個直列は起電力nE・内部抵抗nr。両方がn倍になる点を忘れない
② 「最大」と来たら負荷＝内部抵抗。本問では R=nr
③ 代入するとnが約分される。答えにnが残る選択肢は疑ってよい
④ 最大電力時は電圧も電力も半分ずつ・効率50%——検算に使える

最大電力・電池の出題履歴

同じ考え方を使う直流回路の問題です。あわせて解くと解法が定着します。

年度	記事	問われ方
令和3年度 A問題7	本問（直流回路28）	電池n個で消費電力最大のときの電流
令和6年度上期 A問題7	直流回路12	可変抵抗のジュール熱が最大になる条件
平成19年度 A問題5	直流回路64	可変抵抗のジュール熱が最大になる条件
平成18年度 A問題5	直流回路67	内部抵抗を含む電池の起電力
平成28年度 A問題5	直流回路39	電池4個並列の電源で負荷の消費電力

💡 覚え方
電池n個直列はnE・nr。最大電力はR=nrで、代入すると $I=nE/(2nr)=E/(2r)$ とnが消える。最大電力時は効率50%（電圧も電力も半分ずつ）。

⚠️ よくある間違い
起電力だけn倍にして内部抵抗をn倍にし忘れないこと。答えにnが残る選択肢は誤り（(2)(3)(5)）。「電流は変わらないが電力はn倍になる」という区別も押さえましょう。

まとめ

確認項目	結果
等価電源	起電力nE、内部抵抗nr
負荷電力	P_R＝(nE)²R/(R＋nr)²
最大条件	R＝nr
最大時の電流	I＝E/(2r)〔A〕
電圧分配	負荷nE/2、内部nE/2
最大負荷電力	nE²/(4r)〔W〕
正答	(4)