過渡現象16【電験3種理論】2電源切り換えでコンデンサ電圧が反転する波形を選ぶ！平成26年度 A問題11 完全解説

2026年7月13日2026年8月1日

電験3種理論科目電気回路（過渡現象）平成26年度 A問題11 電源を切り換えると電圧が反転！波形はどれ？

今回は平成26年度理論科目 A問題11を解説します。E電源2個・R2個・C・スイッチS₁S₂の回路で、t₁でS₁を閉じCを充電、t₂でS₁を開きS₂を閉じたときのコンデンサ電圧vの波形を選ぶ問題です。

第1段階（S₁閉）でコンデンサは0からEへ充電されます。第2段階（S₂閉）では逆向きのE電源につながるため、コンデンサ電圧はEから−Eへ反転します。時定数はどちらもRC。

平成26年度理論科目 A問題11：問題文と選択肢

二段階のスイッチ操作をどう扱うかが問われる、波形選択の定番問題です。まず問題文と回路を確認しましょう。

電験3種理論科目過渡現象平成26年度 A問題11 問題文 — 平成26年度理論科目 A問題11 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成26年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題11

電験3種理論科目【電気回路（過渡現象）】平成26年度 A問題11

　図のように、直流電圧E〔V〕の電源が2個、R〔Ω〕の抵抗が2個、静電容量C〔F〕のコンデンサ、スイッチS₁とS₂からなる回路がある。S₁とS₂の初期状態は共に開いている。時刻t＝t₁でS₁を閉じ、時定数CRより十分に時間が経過した時刻t＝t₂でS₁を開きS₂を閉じる。このとき、コンデンサの端子電圧v〔V〕の波形を示す図として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、コンデンサの初期電荷は零とする。

上の図(1)〜(5)から、コンデンサ電圧vの波形として最も適切なものを一つ選べ。

出題のポイント：初期値・連続・最終値の3チェックで波形は決まる

波形選択問題は、微分方程式を最後まで解かなくても①初期値 ②切換え点の連続性 ③最終値の3つを確認するだけで1つに絞れます。本問なら「初期電荷零なので0から出発」「t₂でコンデンサ電圧は飛ばずEのまま」「逆極性の電源につながるので最終値は−E」——この3条件を満たす波形を探すだけです。以下、この3条件がそれぞれなぜ成り立つのかを式で確かめていきます。

正極性電源へ接続する第1段階と逆極性電源へ接続する第2段階のRC回路を分け、目標電圧とコンデンサ電圧の連続性を説明 — 第1段階の目標値はE、第2段階の目標値は−Eで、切換え時のコンデンサ電圧はEのまま連続します。

問題の解説：一次遅れの一般式に「代入するだけ」

使う公式：RC過渡現象の一般式（一次遅れ応答）

$$v(t)=V_{\infty}+\left(V_0-V_{\infty}\right)e^{-t/\tau}$$

※V₀＝初期値、V∞＝最終値（十分時間後）、τ＝時定数（RC回路では τ=CR）。「最終値＋（初期値−最終値）×e^−t/τ」——スイッチ1回の RC 過渡はすべてこの1本で書けます。

一次遅れの一般式へ各段階の初期値と最終値を代入し、0からEとEから−Eの式を導出 — RC回路は現在値から最終値へ指数関数的に近づき、第2段階はvイコール−Eプラス2E掛ける指数項となります。

STEP1　準備：コンデンサ電圧が「飛ばない」理由

コンデンサの電荷は $q=Cv$ で、電荷は電流の積み重ねでしか変化できません。$$i=\frac{dq}{dt}=C\frac{dv}{dt}$$もし切換えの瞬間に v が不連続にジャンプすると $dv/dt=\infty$、つまり無限大の電流が必要になってしまいます。有限の電流しか流せない現実の回路では、コンデンサ電圧は必ず連続——これが「切換え直後も v＝E を保つ」ことの物理的な根拠です。

STEP2　第1段階（S₁閉）：0からEへ充電

初期電荷は零なので $V_0=0$。十分時間が経つとコンデンサには電流が流れなくなり（直流に対して開放）、Rの電圧降下も0になるため、vは電源電圧そのもの、つまり $V_\infty=E$ です。時定数は $\tau=CR$。一般式に代入します。

$$v_1(t)=E+(0-E)\,e^{-t/CR}=E\left(1-e^{-t/CR}\right)$$

❶ 一般式に代入
V₀=0、V∞=E、τ=CR

問題文の t₂ は「時定数CRより十分に時間が経過した時刻」なので $e^{-t/CR}\approx 0$。切換え直前の v はほぼ E になっています。

STEP3　第2段階（S₂閉）：Eから−Eへ再充電

切換え直後の初期値は、STEP1の連続性から $V_0=E$。右側の電源は逆極性で接続されているので、十分時間後の最終値は $V_\infty=-E$。時定数は右側のRとCで、やはり $\tau=CR$ です。切換え時刻を基準に $t’=t-t_2$ とおいて代入します。

$$v_2(t’)=-E+\left\{E-(-E)\right\}e^{-t’/CR}=-E+2E\,e^{-t’/CR}$$

❷ 一般式に代入
V₀=E、V∞=−E、τ=CR

$$v_2(0)=E,\qquad v_2(\infty)=-E$$

❸ 確認
切換え点で連続 ✓　最終値−E ✓

式に現れる係数 2E は「変化幅」（Eから−Eまでの落差）であって、到達値ではありません。到達値はあくまで−Eです。ここを取り違えると誤答(1)(5)に誘導されます。

検算：切換え直後の電流は $i=\{E-(-E)\}/R=2E/R$ と全期間で最大になります。波形の傾きが t₂ 直後にいちばん急なのはこのためです。十分時間が経てば $i=0$（コンデンサは直流を通さない）となり、傾きは0に落ち着きます。

答え「0から出発・t₂で連続・−Eへ収束」の3条件を満たす波形＝選択肢(4)

S1を閉じた第1段階のRC充電回路、閉路状態、時定数、電圧式、0からEへ上昇する波形を説明 — 無充電のコンデンサは0 Vから出発し、時定数RCでEへ指数関数的に充電されます。

S2を閉じた逆極性RC回路で、Eから−Eへ変化する式、0 V通過時刻、連続な下降波形を導出 — 切換え直後のEを保ったまま、vイコール−Eプラス2E掛ける指数項に従って−Eへ近づきます。

誤答の波形はこう消す — 選択肢は「最終値」だけが違う

本問の5つの波形は、第1段階（0→E）は全て同じで、t₂後にどこへ向かうかだけが違います。つまり3チェックのうち③最終値だけで決着します。それぞれの誤答が「どんな誤解から生まれるか」まで押さえておくと、類題で同じ罠にかかりません。

選択肢	t₂後の行き先	その波形を選んでしまう誤解
(1)	＋2Eへ	式の係数2E（変化幅）を到達値と取り違えた
(2)	＋Eのまま	逆極性電源の効果を無視（切換え後も何も起きないと誤解）
(3)	0へ	第2段階を「放電」と誤解。抵抗だけに繋がるなら0だが、本問は逆極性の電源Eがある
(4)	−Eへ	正解：右の電源の向きに従って−Eへ再充電される
(5)	−2Eへ	変化幅2Eと最終値−Eの混同

0からEへ上昇し、t2で連続した後に−Eへ下降する波形を公式の5選択肢と照合し、選択肢4を正解とする解説 — 初期値0、切換え時Eで連続、最終値−Eの3条件をすべて満たす公式正答は選択肢(4)です。

別解：微分方程式から一般式を導いておく

一般式を「暗記するだけ」にしないため、第1段階を微分方程式から解いておきます。回路一周の電圧則（KVL）と、コンデンサの電流の式から$$E=Ri+v,\qquad i=C\frac{dv}{dt}$$$$CR\frac{dv}{dt}+v=E$$

この一階線形微分方程式の解は $v=E+Ae^{-t/CR}$（Aは初期条件で決まる定数）。初期条件 $v(0)=0$ から $A=-E$ となり、STEP2で代入だけで書いた式と一致します。一般式「最終値＋（初期値−最終値）e^−t/τ」は、この解の形をいつでも取り出せるよう整理した結論の公式だと分かります。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 波形選択は「式より先に3チェック」
① 初期値：初期電荷零なのに0から出発していない波形は×
② 切換え点：vが飛んでいる波形は×（飛ぶには無限大の電流が必要）
③ 最終値：コンデンサを「直流で開放」とみなすと i=0 → Rの電圧降下0 → vは電源電圧そのもの。本問なら−E
この順で見れば大半の波形問題は20秒で1つに絞れます。時定数の目安（t=CRで63%、5CRでほぼ完了）もセットで。

RC過渡現象の出題履歴

「切換え直後は電圧連続・十分時間後はCを開放して読む」という本問の型は、過渡現象の全問題に共通する考え方です。あわせて解くと確実に定着します。

年度	記事	論点
平成26年度 A問題11	本問（過渡現象16）	2電源切換えの二段階応答（波形選択）
平成23年度 A問題10	過渡現象17	2電源切り換えの放電電流
令和6年度下期 A問題10	過渡現象4	投入直後と定常状態の電流比
令和2年度 A問題10	過渡現象9	テブナンの定理で時定数と最終電圧
平成19年度 A問題10	過渡現象23	時定数が最も大きい回路の判別