過渡現象17【電験3種理論】RL並列回路のスイッチ開閉によるコイル電圧の波形を求める！平成25年度 A問題12 完全解説

2026年7月13日2026年8月1日

電験3種理論科目電気回路（過渡現象）平成25年度 A問題12 スイッチを開いた瞬間！コイルの電圧はどう跳ねる？

今回は平成25年度理論科目 A問題12を解説します。30V・10Ω・スイッチS、20Ωと20mHの並列回路で、Sをt＝0〜15msの間だけ閉じたときのコイルの端子電圧vの波形を選ぶ問題です。

投入直後はコイルが開放（電流0）なので分圧でv＝20V、その後コイルが短絡してv→0。スイッチ開放時はコイルが電流3Aを維持しようとし、20Ωを通してv＝−60Vの逆スパイクが生じます。

平成25年度理論科目 A問題12：問題文と選択肢

スイッチを閉じて15 ms後にまた開く2段構えの問題です。山場は開いた瞬間——電源30 Vの回路に、なぜ−60 Vが現れるのか。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目過渡現象平成25年度 A問題12 問題文 — 平成25年度理論科目 A問題12 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成25年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12

電験3種理論科目【電気回路（過渡現象）】平成25年度 A問題12

　図の回路において、十分に長い時間開いていたスイッチSを時刻t＝0〔ms〕から時刻t＝15〔ms〕の間だけ閉じた。このとき、インダクタンス20〔mH〕のコイルの端子間電圧v〔V〕の時間変化を示す図として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

上の図(1)〜(5)から、コイルの端子電圧vの波形として最も適切なものを一つ選べ。

出題のポイント：スイッチの「開」でこそ、コイルの本性が現れる

この問題はスイッチを閉じて、15 ms後にまた開くという2段構えです。そして山場は開いた瞬間にあります。

時刻	何が起きるか	コイル端子電圧 v
t＝0（閉じた直後）	コイル電流0のまま → 開放相当 → 10 Ωと20 Ωで分圧	＋20 V
0 < t < 15 ms	コイル電流が増え、コイルが短絡へ近づく	20 V → 0 V へ減衰
t＝15 ms（開いた直後）	コイル電流3 Aが行き場を求めて20 Ωへ逆流	−60 V（逆スパイク）
t > 15 ms	コイルのエネルギーが20 Ωで消費される	−60 V → 0 V へ減衰

電圧が正から負へ飛ぶのが本問の核心です。「急変できない」のはコイル電流であって、コイル電圧は自由に飛べます。ここを混同すると波形が選べません。

スイッチ開閉前後の三つの状態を分け、コイル電流の連続性、投入直後20 V、開放直後約マイナス60 Vを回路図で説明 — 投入直後は+20 V、閉の間は0 Vへ減衰し、開放直後は約−60 Vへ反転します。

なぜ開いた瞬間に大きな逆電圧が出るのか

スイッチを開く直前、コイルには約3 Aが流れています。この電流は瞬時に0にできません。

$$i_L(15^-)=i_L(15^+)\approx2.98\;[\mathrm{A}]$$

❶ 電流は連続
コイルの絶対的な性質

$$\text{電源側は切り離された}\;\Rightarrow\;\text{行き場は20 Ωだけ}$$

❷ 経路が変わる
電流はどこかへ流れねばならない

$$v=-i_L\times20=-2.98\times20\approx-59.6\;[\mathrm{V}]$$

❸ 20 Ωを逆向きに流れる
電源30 Vの倍以上の電圧

電源電圧30 Vしかないのに、−60 Vが発生する——ここが驚きどころです。コイルは「電流を流し続けよう」として、必要なだけの電圧を自分で作り出します。これが $v_L=L\,di/dt$ の意味です。

もし20 Ωがなかったらどうなるか。電流の行き場が完全になくなるので $di/dt$ が極端に大きくなり、理論上は無限大の電圧が発生します。現実にはスイッチの接点間でアーク放電（火花）が起き、そこを電流が流れて決着します。

これがリレーやモータのスイッチが焼ける原因であり、還流ダイオードを並列に入れる理由です。本問の20 Ωは、まさにその「電流の逃げ道」の役割を果たしています。

問題の解説：4つの区間を順に押さえる

使う公式：RL回路の初期値・定常値と2つの時定数

$$v(0^+)=E\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2},\qquad i_L(\infty)=\frac{E}{R_1},\qquad \tau=\frac{L}{R_{\text{コイルから見た抵抗}}}$$

※スイッチの開閉でコイルから見える抵抗が変わる＝時定数も変わります。

STEP1　閉じた直後（t＝0）

コイル電流は0のまま。電流を通さない＝開放と同じなので、30 Vが10 Ωと20 Ωで分圧されます。

$$v(0^+)=30\times\frac{20}{10+20}=20\;[\mathrm{V}]$$

❹ 分圧則
電源電圧30 Vそのものではない

STEP2　閉じている間（0 < t < 15 ms）

コイル電流が増えるにつれ、コイルは短絡へ近づきます。時定数は「コイルから見た抵抗」で決まります。

$$R_{\text{eq}}=10\parallel20=\frac{10\times20}{30}=6.67\;[\Omega]$$

❺ 電源を短絡して見た抵抗
10 Ωと20 Ωが並列に見える

$$\tau_{\text{閉}}=\frac{L}{R_{\text{eq}}}=\frac{20\times10^{-3}}{6.67}=3\;[\mathrm{ms}]$$

❻ 閉のときの時定数

$$i_L(\infty)=\frac{30}{10}=3\;[\mathrm{A}]$$

❼ 定常コイル電流
Lが短絡し20 Ωをバイパス

ここで重要な気づきがあります。スイッチを閉じている時間は15 ms——これは $15\div3=5$ 時定数ぶんです。「5τで定常」の目安どおり、15 msの時点でコイル電流は定常値3 Aの99.3 %（2.98 A）に達します。出題者が意図的に5τに設定しているのです。

STEP3　開いた直後（t＝15 ms）

$$i_L=3\times\left(1-e^{-5}\right)=2.98\;[\mathrm{A}]$$

❽ 15 ms時点の電流
定常値の99.3 %

$$v=-2.98\times20=-59.6\approx-60\;[\mathrm{V}]$$

❾ 逆スパイク
符号が反転

$$\tau_{\text{開}}=\frac{L}{20}=\frac{20\times10^{-3}}{20}=1\;[\mathrm{ms}]$$

❿ 開のときの時定数
閉のときの1/3＝3倍速い

閉時のテブナン等価回路から時定数3 ms、開放後の20 Ω放電ループから時定数1 msと電圧式を導出 — 閉時は10 Ωと20 Ωの並列がコイルから見え、開放後は20 Ωだけが見えるため、時定数は3 msから1 msへ変わります。

答え＋20 V →（3 msで）0 V → −60 V →（1 msで）0 V　→　選択肢(4)

投入直後のコイル開放相当、電圧分割、KCL、微分方程式、20 Vから0 Vへ減衰する波形を説明 — 投入直後はコイル電流が0 Aのため10 Ωと20 Ωの分圧となり、vは20 Vから時定数3 msで0 Vへ減衰します。

開放直前のコイル電流、開放後の20 Ωと20 mHの放電ループ、電流方向と符号、マイナス60 Vから0 Vへ戻る波形を導出 — 15 msでコイル電流は約2.98 Aを保つため、開放直後の端子電圧は−59.6 Vとなり、時定数1 msで0 Vへ戻ります。

波形を決める4つのチェックポイント

選択肢は5つの波形です。次の4点を順に確認すれば一意に決まります。実計算の結果と合わせて示します。

チェック	正しい値	確認内容
① 最初の高さ	＋20 V	30 Vではない（分圧されている）
② 閉の間の減衰	3 ms で0 Vへ	15 msまでにほぼ0（実計算 0.13 V）
③ 逆スパイクの深さ	−60 V	電源電圧の2倍。−30 Vでも−20 Vでもない
④ 開放後の減衰の速さ	1 ms（閉のときより速い）	$\tau=L/20$ で3倍速い

③が最も差がつきます。逆スパイクの大きさは「そのときのコイル電流 × 電流が流れ込む抵抗」で決まります。電源電圧とは無関係——だから30 Vを超えた60 Vになるのです。

④も見落とされがちです。時定数が閉のとき3 ms、開のとき1 msと変わるのは、コイルから見える抵抗が $10\parallel20=6.67\;\Omega$ から $20\;\Omega$ へ変わるから。抵抗が大きくなると $\tau=L/R$ は小さくなり、速く減衰します。

エネルギーで見る逆スパイク

−60 Vという大きな電圧が出ても、エネルギーが増えたわけではありません。

15 ms時点でコイルが蓄えているエネルギーは $\frac12LI^2=\frac12\times20\times10^{-3}\times2.98^2=0.089\;\mathrm{J}$。スイッチを開いた後、この0.089 Jがすべて20 Ωで熱になります。

電圧が高いのは、エネルギーを短時間で放出しているからです。時定数1 msという短い時間に押し込めるため、瞬間的な電力（$v^2/R=60^2/20=180\;\mathrm{W}$）が大きくなります。同じエネルギーでも、放出時間が短いほど電圧・電力は高くなる——これが逆起電力の本質です。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① スイッチの開閉が2回ある問題は、区間ごとに回路を描き直す
② 投入直後のコイル電圧は分圧値（電源電圧そのものではない）
③ 逆スパイクの大きさ＝そのときのコイル電流 × 流れ込む抵抗。電源電圧とは無関係
④ 時定数は区間ごとに変わる。コイルから見える抵抗を毎回求め直す
⑤ スイッチを閉じる時間が5τなら「ほぼ定常に達した」と判断してよい

💡 覚え方
「電流は連続、電圧は跳ぶ」。コイル電流は絶対に飛べませんが、コイル電圧は瞬時に＋20 Vから−60 Vへ飛びます。飛べない量を頼りに、飛ぶ量を計算する——これが過渡現象の基本戦術です。

⚠️ よくある間違い
逆スパイクを−30 V（電源電圧）と考えるのが最頻出のミスです。大きさを決めるのはコイル電流×抵抗であって、電源電圧ではありません。また投入直後を30 Vとする誤りも多く、正しくは10 Ωと20 Ωの分圧で20 Vです。時定数が区間で変わることも忘れないでください。