静電界46【電験3種 理論】誘電体で満たしたコンデンサ（電圧一定）で比誘電率に依存しない量は？平成25年 A問題1 完全解説

今回は平成25年度 理論科目 A問題1を解説します。比誘電率ε_rの誘電体で満たされ、一定の直流電圧が加えられた平行板コンデンサについて、電界分布・電位分布・静電容量・静電エネルギー・電荷が比誘電率ε_rに依存するかを判定し、誤っている記述の組合せを選ぶ問題です。

極板間全体が一様な誘電体で満たされ、極板間電圧V、距離d、面積Aが一定なので、電界E＝V/dと電位分布はε_rに依存しません（記述a・bは誤り）。一方、C＝ε_rε₀A/d、Q＝CV、W＝CV²/2はいずれもε_rに比例します（c・d・eは正しい）。

平成25年度 理論科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成25年度 A問題1

　極板間が比誘電率ε_rの誘電体で満たされている平行平板コンデンサに一定の直流電圧が加えられている。このコンデンサに関する記述a〜eとして、誤っているものの組合せを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

記述a〜e：
a　極板間の電界分布はε_rに依存する。
b　極板間の電位分布はε_rに依存する。
c　極板間の静電容量はε_rに依存する。
d　極板間に蓄えられる静電エネルギーはε_rに依存する。
e　極板上の電荷（電気量）はε_rに依存する。
誤っているものの組合せを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）a, b　（2）a, e　（3）b, c　（4）a, b, d　（5）c, d, e

出題のポイント：一様誘電体でも電圧一定ならE＝V/d

端効果を無視し、極板間全体が一様な誘電体で満たされた平行平板コンデンサでは、極板間電圧Vと距離dが固定されるとE＝V/dです。したがって電界分布と電位分布はεrに依存しません。一方、V・d・A一定のもとで、C＝εrε0A/d、Q＝CV、W＝CV²/2はいずれもεrに比例します。

ポイント解説：Eと電位分布は不変、C・Q・Wはεrに比例

端効果を無視した一様な平行平板コンデンサでは、極板間電圧Vと距離dが固定されるとE＝V/dです。一方の極板を0 Vとし、その極板から他方へ距離xを測れば、電位はV(x)＝Vx/dとなります。したがって、電界分布も電位分布も比誘電率ε_rに依存しません（記述a・bは誤り）。

誘電率をε＝ε_rε₀とすると、C＝εA/dです。さらにQ＝CV、W＝CV²/2なので、V・d・Aが一定の本問ではC・Q・Wはいずれもε_rに比例します（記述c・d・eは正しい）。

問題の解説：a・bを誤りと判定して選択肢(1)を選ぶ

STEP1　記述a・bを判定する

一方の極板を0 V、他方をVとし、0 V側から距離xを測ります。端効果を無視した一様な平行平板コンデンサでは、$$E=\frac{V}{d},\qquad V(x)=\frac{V}{d}x=Ex$$となります。どちらにもε_rは含まれないので、a・bは誤りです。

STEP2　記述c・d・eを判定する

V・d・Aを一定として各量をε_rまで展開すると、$$C=\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0 A}{d},\qquad Q=CV=\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0 AV}{d},\qquad W=\frac{1}{2}CV^2=\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0 AV^2}{2d}$$です。すべてε_rに比例するため、c・d・eは正しい記述です。

STEP3　誤りの組合せを選ぶ

誤っているのはa・bなので、答えは(1)です。

答え：(1)（a・bが誤り）

まとめ

a 電界分布	E＝V/dでεrに無関係 → 誤り
b 電位分布	V(x)＝Vx/dでεrに無関係 → 誤り
c 静電容量	C＝εrε0A/d → 正しい
d 静電エネルギー	W＝CV2/2 → 正しい
e 極板電荷	Q＝CV → 正しい
答え	(1) a・b

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