静電界47【電験3種理論】直線上の3点電荷に働く力が全て零になる電荷を求める！平成25年 A問題2 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成25年度 A問題2 3つの電荷すべてが動かない！中央の電荷はいくら？

今回は平成25年度理論科目 A問題2を解説します。真空中の直線上に間隔rで点A・B・Cが並び、Q_A＝4×10^-6Cのとき、3つの点電荷に働く力がすべて零になるQ_B・Q_Cの組合せを求める問題です。

各点電荷について、ほかの2電荷から受ける力の向きと大きさを整理します。中央Bのつり合いから外側の電荷はQ_C＝Q_A、端Aのつり合いから中央の電荷はQ_B＝−Q_C/4となります。A-C間は2rなので、クーロン力の距離係数が1/4になることが要点です。

平成25年度理論科目 A問題2：問題文と選択肢

3つの点電荷すべてを釣り合わせる問題ですが、立てる式は2本で足ります。しかも1本だけでは候補が3つ残る——両方使うことが必須です。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成25年度 A問題2 問題文 — 平成25年度理論科目 A問題2 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成25年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題2

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成25年度 A問題2

　図のように、真空中の直線上に間隔r〔m〕を隔てて、点A、B、Cがあり、各点に電気量Q_A＝4×10^-6〔C〕、Q_B〔C〕、Q_C〔C〕の点電荷を置いた。これら三つの点電荷に働く力がそれぞれ零になった。このとき、Q_B〔C〕及びQ_C〔C〕の値の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。

Q_B Q_C
(1) 1×10^-6 −4×10^-6
(2) −2×10^-6 8×10^-6
(3) −1×10^-6 4×10^-6
(4) 0 −1×10^-6
(5) −4×10^-6 1×10^-6

	Q_B	Q_C
(1)	1×10^-6	−4×10^-6
(2)	−2×10^-6	8×10^-6
(3)	−1×10^-6	4×10^-6
(4)	0	−1×10^-6
(5)	−4×10^-6	1×10^-6

図　直線上に間隔rで並ぶ点電荷QA、QB、QC（問題図） — 図　直線上に間隔rで並ぶ点電荷 Q_A・Q_B・Q_C（問題図）

出題のポイント：3つのつり合いのうち、独立なのは2つだけ

「3つの点電荷すべてに働く力が零」という条件ですが、実際に立てる式は2本で足ります。対称性から3本目は自動的に満たされるからです。

注目する点	受ける力	つり合いの式	分かること
中央 B	AとCから（どちらも距離r）	$Q_B(Q_A-Q_C)=0$	$Q_C=Q_A$
端 A	Bから距離r、Cから距離2r	$Q_B+\dfrac{Q_C}{4}=0$	$Q_B=-Q_C/4$
端 C	Bから距離r、Aから距離2r	Aと同じ形	自動的に成立

A-C間が2rなので、力の係数が1/4になる——これが本問の急所です。クーロン力は距離の2乗に反比例するので、距離が2倍なら力は1/4です。

直線上の点A・B・Cと距離r・r・2rおよびクーロン力の向きを整理した図 — A-B間とB-C間はr、A-C間は2rです。各点にはほかの2電荷から力が働きます。

問題の解説：2本の式を順に解く

クーロンの法則（符号付き）

$$F_x=k\frac{q_1q_2}{d^2}\times(\text{向き}),\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$$

※同符号なら反発、異符号なら吸引。x軸方向の成分に符号を付けて足します。

STEP1　中央Bのつり合いから $Q_C$ を決める

BはAからもCからも距離r——同じ距離なので、式が単純になります。

$$F_B=k\frac{Q_BQ_A}{r^2}-k\frac{Q_BQ_C}{r^2}=k\frac{Q_B(Q_A-Q_C)}{r^2}=0$$

❶ 左右から受ける力の差
Aから離れる向きを正

$$Q_B\neq0\;\Rightarrow\;Q_C=Q_A=4\times10^{-6}\;[\mathrm{C}]$$

❷ 外側の2電荷は等しい
対称な配置になる

$Q_B=0$ も数学的には解ですが、その場合はAとCが互いに反発したままで釣り合いません。選択肢(4)がまさにその形で、後で確認します。

STEP2　端Aのつり合いから $Q_B$ を決める

Aから見るとBは距離r、Cは距離2rです。距離が違うので係数に差が出ます。

$$-k\frac{Q_AQ_B}{r^2}-k\frac{Q_AQ_C}{(2r)^2}=0$$

❸ 両方とも左向き（負）と置く
$(2r)^2=4r^2$

$$Q_B+\frac{Q_C}{4}=0\;\Rightarrow\;Q_B=-\frac{Q_C}{4}=-1\times10^{-6}\;[\mathrm{C}]$$

❹ $kQ_A/r^2$ で割る
中央は負電荷

中央が負になるのは必然です。両端が正なら互いに反発するので、それを引き止めるには中央に引力を生む負電荷が必要になります。

中央Bと端Aの力のつり合いからQCとQBを順に求める式の図 — Bのつり合いからQC＝QA、Aのつり合いからQB＝−QC/4を得ます。

答え$Q_B=-1\times10^{-6}\;[\mathrm{C}]$、$Q_C=4\times10^{-6}\;[\mathrm{C}]$　→　選択肢(3)

QAが4マイクロクーロン、QBがマイナス1マイクロクーロン、QCが4マイクロクーロンのとき全電荷の合力が零になる確認図 — 三つの点で左右の力が等しく反対向きになり、正解は(3)です。

誤答の正体：Aのつり合いだけでは3つに絞れない

全選択肢を実際に代入し、3点それぞれに働く合力を計算しました。興味深い結果が出ています。

選択肢	$Q_B$	$Q_C$	Aの合力	Bの合力	Cの合力	判定
(1)	$+1\times10^{-6}$	$-4\times10^{-6}$	0 ○	0でない ×	0でない ×	×
(2)	$-2\times10^{-6}$	$+8\times10^{-6}$	0 ○	0でない ×	0でない ×	×
(3)	$-1\times10^{-6}$	$+4\times10^{-6}$	0 ○	0 ○	0 ○	○
(4)	0	$-1\times10^{-6}$	0でない ×	0 ○	0でない ×	×
(5)	$-4\times10^{-6}$	$+1\times10^{-6}$	0でない ×	0でない ×	0でない ×	×

(1)(2)(3)はどれもAの力が0になります。つまり「Aのつり合い」だけを使って解くと、3つの候補が残ってしまうのです。

実際、(1)は $Q_B+Q_C/4=1\times10^{-6}+(-1\times10^{-6})=0$、(2)は $-2\times10^{-6}+2\times10^{-6}=0$——どちらもAの条件を満たしています。

決め手はBのつり合いです。$Q_C=Q_A$ という条件を満たすのは(3)だけ。(1)は $Q_C=-Q_A$、(2)は $Q_C=2Q_A$ となり、Bに力が残ってしまいます。

(4)は $Q_B=0$ のケースです。Bには電荷がないので力を受けませんが、AとCが互いに引き合ったまま（異符号なので）で釣り合いません。「Bが0なら3つとも0」ではないことが数値で確認できます。

なぜ3本目の式が不要なのか

Cのつり合いを立てなくてよい理由を確認しておきます。

$$Q_C=Q_A\;\text{が決まった時点で、配置は左右対称になる}$$

❺ 対称性
AとCが同じ電荷・同じ距離

$Q_A=Q_C$ で、Bが中央にある——この時点で配置は左右対称です。だからAが釣り合えばCも自動的に釣り合います。3本目の式は独立ではありません。

一般に、n個の電荷がすべて釣り合う条件は独立な式が n−1 本になります（全体の合力が0であることから1本が従属になるため）。本問はさらに対称性が加わるので、実質2本で決まります。

この見通しがあると、どの式から立てるかを選べます。本問ではBのつり合いが最も単純（距離が同じで係数が揃う）なので、そこから始めるのが効率的です。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 最も単純なつり合いから立てる（本問は距離が等しい中央B）
② A-C間は2r → 力の係数は1/4。距離の2乗に反比例
③ 両端が同符号なら中央は逆符号——引き止める役が必要
④ 対称配置なら3本目の式は不要（自動的に成立）
⑤ 検算は選択肢を代入して3点すべての合力を確認

💡 覚え方
「外側は同じ、中央は逆符号で1/4」。$Q_C=Q_A$、$Q_B=-Q_A/4$——この形は3電荷が一直線に等間隔で並ぶ配置の定番です。1/4は距離2倍の効果から来ています。

⚠️ よくある間違い
Aのつり合いだけで答えを決めるのが最大の落とし穴です。(1)(2)もAの条件は満たすので、Bのつり合いまで確認しなければ絞れません。またA-C間の距離を r と誤ると1/4の係数が消え、答えが変わります。