静電界47【電験3種 理論】直線上の3点電荷に働く力が全て零になる電荷を求める！平成25年 A問題2 完全解説

今回は平成25年度 理論科目 A問題2を解説します。真空中の直線上に間隔rで点A・B・Cが並び、Q_A＝4×10^-6Cのとき、3つの点電荷に働く力がすべて零になるQ_B・Q_Cの組合せを求める問題です。

各点電荷について、ほかの2電荷から受ける力の向きと大きさを整理します。中央Bのつり合いから外側の電荷はQ_C＝Q_A、端Aのつり合いから中央の電荷はQ_B＝−Q_C/4となります。A-C間は2rなので、クーロン力の距離係数が1/4になることが要点です。

平成25年度 理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成25年度 A問題2

　図のように、真空中の直線上に間隔r〔m〕を隔てて、点A、B、Cがあり、各点に電気量Q_A＝4×10^-6〔C〕、Q_B〔C〕、Q_C〔C〕の点電荷を置いた。これら三つの点電荷に働く力がそれぞれ零になった。このとき、Q_B〔C〕及びQ_C〔C〕の値の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。

	QB	QC
(1)	1×10-6	−4×10-6
(2)	−2×10-6	8×10-6
(3)	−1×10-6	4×10-6
(4)	0	−1×10-6
(5)	−4×10-6	1×10-6

出題のポイント：力の向きと距離r・2rを整理する

A-B間とB-C間はr、A-C間は2rです。各点電荷について、ほかの2電荷から受ける力の向きと大きさを整理します。クーロン力は距離の2乗に反比例するため、同じ電荷積なら距離2rの力は距離rの力の1/4です。Bのつり合いで外側A・Cを等しくし、Aのつり合いで中央Bの符号と大きさを決めます。

ポイント解説：Bのつり合いで外側を等しくし、Aのつり合いで中央を決める

各点電荷について、ほかの2電荷から受けるクーロン力をx軸方向の符号付きで加えます。A-B間とB-C間はr、A-C間は2rなので、AとCの間の力には1/4の距離係数が付きます。

Bのつり合いはQ_B(Q_A−Q_C)＝0です。選択肢にある非自明な配置ではQ_B≠0なので、Q_C＝Q_A＝4×10⁻⁶ Cとなります。次にAのつり合いから、Q_B＝−Q_C/4＝−1×10⁻⁶ Cを得ます。

問題の解説：外側を＋4 μC、中央を−1 μCにする

STEP1　Bのつり合いからQ_Cを求める

AからCへ向かう右向きを正とします。Bに働く合力は、$$F_B=\frac{kQ_B(Q_A-Q_C)}{r^2}=0$$です。Q_B＝0ならAをつり合わせるためにQ_C＝0も必要ですが、その組合せは選択肢にありません。したがってQ_B≠0として、$$Q_C=Q_A=4\times10^{-6}\;[\mathrm{C}]$$を得ます。

STEP2　Aのつり合いからQ_Bを求める

Q_AとQ_Cはともに正なので、CはAを左向きに反発します。これを打ち消すには、BがAを右向きに引く必要があるためQ_Bは負です。力の大きさを等しくすると、$$\frac{kQ_A|Q_B|}{r^2}=\frac{kQ_AQ_C}{(2r)^2}\;\Rightarrow\;|Q_B|=\frac{Q_C}{4}$$したがって、$$Q_B=-\frac{Q_C}{4}=-\frac{4\times10^{-6}}{4}=-1\times10^{-6}\;[\mathrm{C}]$$となります。

STEP3　確認と答え

Cでは、正のAから受ける右向きの斥力と、負のBから受ける左向きの引力を比べます。つり合い条件はQ_A/4＋Q_B＝0で、Q_A＝4×10⁻⁶ C、Q_B＝−1×10⁻⁶ Cを代入すると成立します。したがってQ_C＝4×10⁻⁶ Cで、正解は(3)です。

答え：(3)（Q_B＝−1×10⁻⁶ C、Q_C＝4×10⁻⁶ C）

まとめ

Bのつり合い	QC＝QA
Aのつり合い	QB＝−QC/4
QB	−1×10−6 C
QC	4×10−6 C
答え	(3)

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