静電界68【電験3種 理論】11枚の金属板を並べた空気コンデンサの静電容量と蓄積エネルギー！平成18年 B問題17 完全解説

今回は平成18年度 理論科目 B問題17を解説します。同じ形状の金属板11枚を5mm間隔で並べ、1枚おきに接続した空気コンデンサ（板面積0.5m²）について、（a）静電容量、（b）電界1000kV/mのときの蓄積エネルギーを求める問題です。

端子Aには6枚、端子Bには5枚の金属板が交互に接続され、隣接する板の間には10個の空げきができます。各空げきは同じA-B端子間に接続されるため、10個の同一コンデンサの並列接続です。1空げき分の容量C₁＝ε₀A/dを10倍して全体容量を求め、V_AB＝EdとW＝½CV_AB²からエネルギーを計算します。

平成18年度 理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成18年度 B問題17

　同一形状の金属板11枚を5〔mm〕の間隔で平行に配置し、1枚おきに接続して空気コンデンサを製作した。板面積は0.5〔m²〕である。真空の誘電率をε₀＝8.85×10^-12〔F/m〕、空気の比誘電率を1.0とし、端効果は無視できるものとして、次の(a)及び(b)に答えよ。

（a）コンデンサの静電容量C〔pF〕の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ（ε₀＝8.85×10^-12F/m、空気の比誘電率1.0、端効果は無視）。

（1）88.5　（2）4 430　（3）8 850　（4）17.7×10³　（5）177×10⁴

（b）コンデンサ極板間の電界強度を1 000〔kV/m〕とするとき、蓄えられるエネルギーW〔J〕として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）1.11×10^-3　（2）5.54×10^-2　（3）1.11×10^-1　（4）2.21×10^-1　（5）2.21×10

出題のポイント：11枚では10すき間、すべてA-B間に並列

11枚の金属板を1枚おきに接続すると、端子Aには6枚、端子Bには5枚が接続されます。隣り合う板は必ずA側とB側になるため、板間にできる10個の空げきは、すべて同じA-B端子間に接続された同一コンデンサです。したがって全体は10個の並列接続となり、C＝10ε₀A/dです。各空げきの電圧はV_AB＝Edなので、W＝½CV_AB²で全エネルギーを求められます。

ポイント解説：1すき間の容量を10倍し、V＝Edを使う

11枚の板を左から数えると、奇数番の6枚は端子A、偶数番の5枚は端子Bへ接続されています。したがって、隣り合う板は必ず一方がA、もう一方がBです。11枚の板の間にできる10個の空げきは、すべて同じA-B端子間の電圧を受けるため、10個の同一コンデンサの並列接続として扱えます。

1空げき分は、面積A＝0.5 m²、間隔d＝5×10^-3 m、誘電率ε＝ε₀なので、C₁＝ε₀A/dです。全体容量はC＝10C₁となります。また各空げきの電界はE、距離はdなので、A-B間の電圧はV_AB＝Edです。

問題の解説：8 850 pFと0.111 Jを二通りで確認する

STEP1　1すき間分の容量を求める

空気の比誘電率は1.0なので、誘電率はε₀です。d＝5 mm＝5×10^-3 m、A＝0.5 m²を代入すると、$$C_1=\frac{\varepsilon_0 A}{d}=\frac{8.85\times10^{-12}\times0.5}{5\times10^{-3}}=8.85\times10^{-10}\;\mathrm{F}=885\;\mathrm{pF}$$となります。

STEP2　（a）並列合成容量を求める

11枚の板の間にある空げきは11−1＝10個です。各空げきの両端は同じ端子A・Bへ接続されているため並列となり、$$C=10C_1=10\times885=8\,850\;\mathrm{pF}=8.85\times10^{-9}\;\mathrm{F}$$です。したがって（a）は(3)です。

STEP3　（b）蓄積エネルギーを求める

E＝1 000 kV/m＝1.00×10⁶ V/m、d＝5.00×10^-3 mなので、V_AB＝Ed＝5.00×10³ Vです。したがって、$$W=\frac{1}{2}CV_{AB}^2=\frac{1}{2}\times8.85\times10^{-9}\times(5.00\times10^3)^2=1.10625\times10^{-1}\;\mathrm{J}$$となり、最も近い選択肢は(3)です。エネルギー密度で確認すると、u＝½ε₀E²＝4.425 J/m³、電界が存在する総体積は10Ad＝0.025 m³なので、u×10Ad＝0.110625 Jとなり一致します。

答え：（a）-(3)、（b）-(3)（C＝8 850 pF、W＝0.110625 J≒0.111 J）

まとめ

A側・B側の板	6枚・5枚を交互に配置
空げき数	10（＝11−1）、すべて並列
1空げきの容量	C1＝885 pF
（a）合成容量	C＝8 850 pF、答え(3)
端子間電圧	VAB＝Ed＝5 000 V
（b）エネルギー	W＝0.110625 J≒1.11×10-1 J、答え(3)

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