静電界64【電験3種 理論】電気力線の本数から未知の電荷Bを求める！平成19年 A問題3 完全解説

今回は平成19年度 理論科目 A問題3を解説します。真空中の2電荷A・Bの周囲に描かれた電気力線の図から、A＝16ε₀〔C〕のときの電荷B〔C〕を求める問題です。

本問では、真空中の電荷Qに対する電気力線の本数をN＝|Q|/ε₀と数えます。Aから出る16本に対してBには8本が入るので、Bの電気量の大きさはAの1/2です。さらに、力線がBへ入ることからBは負電荷であり、B＝−8ε₀ Cとなります。

平成19年度 理論科目 A問題3：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成19年度 A問題3

　図に示すように、誘電率ε₀〔F/m〕の真空中に置かれた静止した二つの電荷A〔C〕及びB〔C〕があり、図中にその周囲の電気力線が描かれている。電荷A＝16ε₀〔C〕であるとき、電荷B〔C〕の値として、正しいのは次のうちどれか。

電荷A＝16ε₀〔C〕であるとき、電荷B〔C〕の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）16ε₀　（2）8ε₀　（3）−4ε₀　（4）−8ε₀　（5）−16ε₀

出題のポイント：本数で大きさ、矢印で符号を読む

電気力線は電界を可視化する仮想的な線で、実際の本数は描き方の規格によります。本問では真空中の電荷Qに対してN＝|Q|/ε₀本と数えます。Aから出る16本に対し、Bには8本が入っています。本数比からBの電気量の大きさはAの1/2、矢印が入ることから符号は負です。

ポイント解説：N＝|Q|/ε₀とガウスの法則

電気力線は電界を可視化するための仮想的な線で、物理的に固定された本数が存在するわけではありません。本問では、ガウスの法則∮E・dS＝Q/ε₀に対応させ、電荷の大きさ|Q|に対する本数をN＝|Q|/ε₀と数える規格です。したがって、本数Nは常に0以上です。

電気量の大きさは力線の本数に比例するので、本数比がそのまま|A|:|B|になります。一方、符号は矢印の向きから判断します。電気力線が出る電荷は正、入る電荷は負です。本数から大きさ、矢印から符号を別々に決めることがポイントです。

問題の解説：16本対8本からB＝−8ε₀ C

STEP1　Aから出る本数を求める

A＝＋16ε₀ Cなので、本問の規格ではAから出る電気力線の本数は、$$N_A=\frac{|A|}{\varepsilon_0}=\frac{16\varepsilon_0}{\varepsilon_0}=16\;\text{本}$$です。Aから矢印が外向きに出ることも、Aが正電荷であることと一致します。

STEP2　Bに入る本数を読む

図ではBを終点とする電気力線が8本あります。したがって、電気量の大きさは、$$|B|=N_B\varepsilon_0=8\varepsilon_0\;[\mathrm{C}]$$です。また、矢印がBへ入るので、Bは負電荷です。

STEP3　電荷Bを求める

大きさ8ε₀ Cに負符号を付けると、$$B=-8\varepsilon_0\;[\mathrm{C}]$$となり、正しい選択肢は(4)です。本数比16:8＝2:1からも、|B|＝|A|/2と確認できます。また、Aから出る16本のうち8本がBへ入り、残る8本が無限遠へ向かうことは、正味電荷A＋B＝＋8ε₀ Cとも一致します。

答え：(4)（B＝−8ε₀ C）

まとめ

本問の規格	N＝|Q|/ε0
Aから出る本数	|16ε0|/ε0＝16本
Bへ入る本数	8本 → |B|＝8ε0 C
Bの符号	力線が入るため負
検算	A＋B＝＋8ε0 C、残る8本は無限遠へ向かう
答え	B＝−8ε0 C → (4)

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