静電界17【電験3種理論】電気力線の本数から未知の電荷量を求める！令和4年下期 A問題1 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）令和4年度下期 A問題1 電気力線の本数がヒント！電荷は何Cある？

今回は令和4年度下期理論科目 A問題1を解説します。2つの導体球A、Bの周囲に描かれた電気力線の図から、電気量Q_A＝16ε₀のときの導体球Bの電気量Q_Bを求める計算問題です。

電気力線の本数は電荷量に比例し、1本＝ε₀分の電荷に対応します。Aから出る本数、無限遠へ向かう本数、Bへ入る本数を数えて電荷を求めます。

令和4年度下期理論科目 A問題1：問題文と選択肢

電気力線は絵のための補助線ではなく、電荷と厳密に結びついた「数えられる」量です。図の本数を数えれば、未知の電荷が求まります。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界令和4年度下期 A問題1 問題文 — 令和4年度下期理論科目 A問題1 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和4年度下期第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題1

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】令和4年度下期 A問題1

　図に示すように、誘電率ε₀〔F/m〕の真空中に置かれた二つの静止導体球A及びBがある。電気量はそれぞれQ_A〔C〕及びQ_B〔C〕とし、図中にその周囲の電気力線が描かれている。電気量Q_A＝16ε₀〔C〕であるとき、電気量Q_B〔C〕の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）16ε₀　（2）8ε₀　（3）-4ε₀　（4）-8ε₀　（5）-16ε₀

出題のポイント：電気力線は「数えられる」量

電気力線は絵を描くための補助線ではなく、電荷の量と厳密に結びついた数えられる量です。

電気力線の本数（真空中）

$$N=\frac{Q}{\varepsilon_0}\;[\text{本}]$$

※電荷 $\varepsilon_0$ あたり1本。正電荷から出て、負電荷へ入ります。

本問はこの関係を逆向きに使います。図に描かれた本数を数えて、そこから電荷を求めるのです。

数えるもの	対応する電荷	本問での値
Aから出る本数	$Q_A/\varepsilon_0$	16本（$Q_A=16\varepsilon_0$ より）
系全体から無限遠へ出る本数	$(Q_A+Q_B)/\varepsilon_0$	8本（図から数える）
Bへ入る本数	$\|Q_B\|/\varepsilon_0$	16 − 8 ＝ 8本

正電荷Aから出る16本の電気力線が無限遠への8本と負電荷Bへ入る8本に分かれることを示す図 — 描かれた代表線ではなく、問題図の本数を16本＝8本＋8本として数えます。

「無限遠へ出る本数＝正味の電荷」がなぜ成り立つのか

本問の鍵は2つ目の行です。なぜ「系全体から外へ出る本数」が正味の電荷を表すのでしょうか。

ガウスの法則を、A と B の両方を囲む大きな閉曲面に適用すると分かります。

$$\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{内部}}}{\varepsilon_0}=\frac{Q_A+Q_B}{\varepsilon_0}$$

❶ 両方を囲む面でガウスの法則
閉曲面を貫く正味の本数

AからBへ入る力線は、この閉曲面を出入りしません（内部で完結するため）。だから外へ抜けていく本数だけが残り、それが正味の電荷を表します。

この考え方は「途中で消える力線はない」という電気力線の性質そのものです。Aから出た16本は、必ずどこかへ行き着きます——Bへ入るか、無限遠へ去るかの二択です。

問題の解説：本数の収支を式にする

STEP1　Aから出る本数を求める

$$N_A=\frac{Q_A}{\varepsilon_0}=\frac{16\varepsilon_0}{\varepsilon_0}=16\;[\text{本}]$$

❷ 単位が約分される
$\varepsilon_0$ が消えて純粋な本数になる

問題が $Q_A=16\varepsilon_0$ という書き方をしているのは親切な設計です。$\varepsilon_0$ で割ると16という整数になり、図の力線の本数と直接対応します。

STEP2　無限遠へ向かう本数から正味電荷を求める

$$\frac{Q_A+Q_B}{\varepsilon_0}=8\;[\text{本}]$$

❸ 図から8本と数える
系全体を囲む面を貫く本数

$$Q_A+Q_B=8\varepsilon_0$$

❹ 両辺に $\varepsilon_0$ を掛ける

STEP3　$Q_B$ を求める

$$Q_B=8\varepsilon_0-Q_A=8\varepsilon_0-16\varepsilon_0=-8\varepsilon_0\;[\mathrm{C}]$$

❺ 引き算するだけ
負電荷になる

符号が負になることが答えの妥当性を裏づけます。図ではBに力線が入っているので、Bは負電荷でなければなりません。

電荷QAから電気力線16本を求め無限遠とBへの8本ずつに分ける数量フロー図 — 系外へ出る8本は系全体の正味電荷に対応し、Bへ入る8本は負電荷に対応します。

答え$Q_B=-8\varepsilon_0\;[\mathrm{C}]$　→　選択肢(4)

収支の確認：Aから出た16本のうち、8本が無限遠へ、8本がBへ。合計16本で辻褄が合います ✓

電気力線の本数から導体球Bの電荷をマイナス8ε0クーロンと求める3段階の解説図 — Q_B＝8ε₀－16ε₀＝－8ε₀ Cなので、正答は(4)です。

誤答の正体：仮定すると図と矛盾する

各選択肢が正しいと仮定したとき、無限遠へ向かう本数がいくつになるかを計算しました。図は8本なので、それ以外は矛盾します。

選択肢	$Q_B$	$Q_A+Q_B$	無限遠への本数	判定
(1)	$16\varepsilon_0$	$32\varepsilon_0$	32本	図の8本と矛盾 ×
(2)	$8\varepsilon_0$	$24\varepsilon_0$	24本	図の8本と矛盾 ×
(3)	$-4\varepsilon_0$	$12\varepsilon_0$	12本	図の8本と矛盾 ×
(4)	$-8\varepsilon_0$	$8\varepsilon_0$	8本	図と一致 ○
(5)	$-16\varepsilon_0$	0	0本	図の8本と矛盾 ×

(5)は「Aから出た16本が全部Bへ入る」と考えた場合です。その場合、正味の電荷が0になり、無限遠へ向かう力線が1本もなくなります。しかし図には外へ抜ける力線が描かれているので矛盾します。

(2)の $+8\varepsilon_0$ は符号のミスです。「無限遠へ8本だから8ε₀」と早合点すると選んでしまいます。8本が表すのは$Q_A+Q_B$ という和であって、$Q_B$ 単体ではありません。

この検算法は非常に強力です。選択肢を代入して図と照合するだけなので、解法を忘れていても正解にたどり着けます。

電気力線を「数える」ときの約束ごと

電気力線の本数を扱う問題では、いくつかの約束を押さえておく必要があります。

約束	内容	注意点
本数の定義	$Q/\varepsilon$ 本（真空なら $Q/\varepsilon_0$）	誘電体中では $\varepsilon$ で割る（本数が減る）
向き	正電荷から出て、負電荷へ入る	途中で消えたり生まれたりしない
行き先	負電荷へ入るか、無限遠へ去るか	この二択しかない
電束線との違い	電束線は $Q$ 本（$\varepsilon$ で割らない）	問題文がどちらを指すか確認

「行き先は二択」という点が本問の解法そのものです。16本の行き先を「無限遠へ8本」と「Bへ8本」に振り分けることで、Bの電荷が決まりました。

なお図に描かれる力線は代表的な数本だけという場合もあります。本問は「16本」「8本」と実際に数えられるよう作図されているので、図の本数をそのまま使えます。問題によっては本数が象徴的に描かれていることもあるため、与えられた電荷量と整合するか確認してください。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 真空中は電荷 $\varepsilon_0$ あたり力線1本。$Q/\varepsilon_0$ で本数になる
② 系全体から外へ出る本数＝正味電荷 $(Q_A+Q_B)/\varepsilon_0$
③ 力線の行き先は「負電荷へ入る」か「無限遠へ去る」の二択
④ 検算は選択肢を代入して無限遠への本数を計算し、図と照合
⑤ 力線が入っている＝負電荷。符号が合わない選択肢は即消去

💡 覚え方
「出た本数＝入る本数＋逃げる本数」。Aから出た16本は必ずどこかへ行きます。逃げた8本が正味の電荷を教えてくれる——残りがBへ入った本数です。

⚠️ よくある間違い
「Aから出た16本が全部Bへ入る」と考えて $-16\varepsilon_0$ を選ぶのが最頻出です（選択肢(5)）。それなら無限遠へ抜ける力線が0本になり、図と矛盾します。また無限遠への8本をそのまま $Q_B$ とするのも誤りで、8本が表すのは$Q_A+Q_B$ です。