静電界59【電験3種 理論】電源とコンデンサの5回路で蓄えるエネルギーが最小なのはどれ？平成21年 A問題5 完全解説

今回は平成21年度 理論科目 A問題5を解説します。直流電源E〔V〕とコンデンサC〔F〕の個数・組み合わせを変えた5種類の回路のうち、コンデンサ全体に蓄えられるエネルギーが最も小さい回路を選ぶ問題です。

各回路について、コンデンサ群の端子電圧Vと合成静電容量C_eqを求め、全エネルギーW＝½C_eqV²を計算します。同一電源を並列接続してV＝E、同じコンデンサ2個を直列接続してC_eq＝C/2とした回路(4)が、最小のCE²/4となります。

平成21年度 理論科目 A問題5：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成21年度 A問題5

　図に示す5種類の回路は、直流電圧E〔V〕の電源と静電容量C〔F〕のコンデンサの個数と組み合わせを異にしたものである。これらの回路のうち、コンデンサ全体に蓄えられている電界のエネルギーが最も小さい回路を示す図として、正しいのは次のうちどれか。

これらの回路のうち、コンデンサ全体に蓄えられている電界のエネルギーが最も小さい回路を示す図として、正しいものを図中の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

出題のポイント：端子電圧と合成容量からエネルギーを比較する

コンデンサ全体のエネルギーは、コンデンサ群の端子電圧をV、合成静電容量をC_eqとするとW＝½C_eqV²です。直列の同一電源は2E、並列の同一電源はE、同じコンデンサ2個の直列はC/2、並列は2Cとして、各回路を同じ基準CE²で比べます。回路(3)はコンデンサが1個なのでC_eq＝Cである点に注意します。

ポイント解説：電源をV、コンデンサ群をCeqに置き換える

コンデンサ全体に蓄えられるエネルギーは、コンデンサ群の端子電圧をV、合成静電容量をC_eqとすると、W＝½C_eqV²です。したがって各回路を、VとC_eqの二つに整理して比較します。

同じ極性の理想電圧源を直列接続するとV＝2E、同じ電圧・極性の電源を並列接続するとV＝Eです。同じコンデンサ2個では、直列ならC_eq＝C/2、並列ならC_eq＝2Cです。ただし回路(3)のコンデンサは1個だけなので、C_eq＝Cです。

問題の解説：5回路をCE²の係数で比較して(4)を選ぶ

STEP1　（1）〜（3）のエネルギー

(1)はV＝E、C_eq＝Cなので、W₁＝½CE²です。(2)は直列電源によりV＝2E、直列コンデンサによりC_eq＝C/2なので、W₂＝½・(C/2)・(2E)²＝CE²です。(3)はV＝2Eですが、コンデンサは1個なのでC_eq＝Cです。したがって、W₃＝½C(2E)²＝2CE²となります。

STEP2　（4）（5）のエネルギー

(4)は同一電源の並列接続によりV＝E、コンデンサ2個の直列接続によりC_eq＝C/2です。したがって、$$W_4=\frac{1}{2}\cdot\frac{C}{2}\cdot E^2=\frac{CE^2}{4}$$となります。(5)はV＝E、C_eq＝2Cなので、$$W_5=\frac{1}{2}\cdot 2C\cdot E^2=CE^2$$です。

STEP3　最小を選ぶ

CE²を基準にすると、W/(CE²)は、(1)が1/2、(2)が1、(3)が2、(4)が1/4、(5)が1です。したがって、W₄＜W₁＜W₂＝W₅＜W₃となり、最も小さいのは(4)です。

答え：(4)（V＝E、C_eq＝C/2、W＝CE²/4で最小）

まとめ

回路	端子電圧V	合成容量Ceq	エネルギーW
(1)	E	C	½CE2
(2)	2E	C/2	CE2
(3)	2E	C	2CE2
(4)	E	C/2	CE2/4（最小）
(5)	E	2C	CE2
答え	(4)

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