静電界56【電験3種 理論】正三角形に置いた点電荷に働く力と一様電界中の力のつり合い！平成22年 B問題17 完全解説

今回は平成22年度 理論科目 B問題17を解説します。一辺6mの正三角形の頂点Aに+4×10^-9C、頂点Bに−4×10^-9Cを置き、（a）点Cと点Dに正電荷を置いたときの力の比F_C/F_D、（b）点Cで一様電界を加えたときの正電荷の値を求める問題です。

点Cでは大きさが等しい2力を成分分解すると、鉛直成分が相殺し、AからBへ向かう水平成分だけが残ります。点Dでは2力が同一直線上でAからBへ向かうため、そのまま加算されます。（b）は、点電荷が作る右向き1 N/Cの電界と、左向き0.5 N/Cの一様電界を差し引いてq₀を求めます。

平成22年度 理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成22年度 B問題17

　真空中において、図に示すように、一辺の長さが6〔m〕の正三角形の頂点Aに4×10^-9〔C〕の正の点電荷が置かれ、頂点Bに−4×10^-9〔C〕の負の点電荷が置かれている。正三角形の残る頂点を点Cとし、点Cより下した垂線と正三角形の辺ABとの交点を点Dとして、次の(a)及び(b)に答えよ。ただし、クーロンの法則の比例定数を9×10⁹〔N·m²/C²〕とする。

（a）q₀の正の点電荷を点Cに置いたときの力の大きさをF_C、点Dに移動したときの力の大きさをF_Dとする。力の大きさの比F_C/F_Dの値として、正しいのは次のうちどれか。

（1）1/8　（2）1/4　（3）2　（4）4　（5）8

（b）q₀を点Cに戻し、強さ0.5V/mの一様電界を辺ABに平行に点Bから点Aの向きに加えたところ、q₀に電界の向きと逆向きに2×10^-9Nの力が働いた。正の点電荷q₀〔C〕の値として、正しいのは次のうちどれか。

（1）4/3×10^-9　（2）2×10^-9　（3）4×10^-9　（4）4/3×10^-8　（5）2×10^-8

出題のポイント：力の向きを先に描いて成分を合成する

正の試験電荷q₀に対し、Aの正電荷は斥力、Bの負電荷は引力を及ぼします。Cでは大きさが等しい2力の鉛直成分が相殺し、AからBへ向かう水平成分だけが残ります。Dでは2力が同一直線上でAからBへ向かうため、そのまま加算します。最初に力の矢印を描くことが重要です。

ポイント解説：Cは鉛直成分が相殺、Dは水平方向に加算

q₀は正なので、Aの正電荷からは斥力、Bの負電荷からは引力を受けます。Cでは右上向きと右下向きの等しい2力を成分分解し、鉛直成分を相殺します。DではAによる斥力とBによる引力が、ともにAからBへの右向きです。

（b）では、A・Bの点電荷がCに作る合成電界はAからBへの1 N/C、外部一様電界はBからAへの0.5 N/Cです。q₀は正なので、合力は差し引き後の合成電界と同じ向きになります。

問題の解説：(a)は1/8、(b)は4×10⁻⁹ C

STEP1　（a）点Cの力F_Cを求める

点CからA・Bまでの距離はともに6 mです。各力の大きさをF₀＝kqq₀/6²とすると、Aからの斥力は右上60°、Bからの引力は右下60°を向きます。鉛直成分は相殺し、水平成分が加わるので、$$F_C=2F_0\cos60^\circ=F_0=\frac{kq q_0}{36}$$となります。ただしq＝4×10⁻⁹ Cです。

STEP2　（a）点Dの力F_Dと比

点DからA・Bまでの距離はともに3 mです。Aによる斥力もBによる引力もAからBへの右向きなので、$$F_D=2\cdot\frac{kq q_0}{3^2}=\frac{2kq q_0}{9}$$となります。したがって、$$\frac{F_C}{F_D}=\frac{1/36}{2/9}=\frac{1}{8}$$より、（a）は(1)です。

STEP3　（b）電荷q₀を求める

点CでA・Bの点電荷が作る合成電界は、$$E_{AB}=\frac{F_C}{q_0}=\frac{kq}{36}=\frac{9\times10^9\times4\times10^{-9}}{36}=1\;[\mathrm{N/C}]$$で、AからBへの右向きです。外部一様電界は0.5 V/m＝0.5 N/Cで、BからAへの左向きです。したがって合成電界は右向き0.5 N/Cとなります。問題文の合力2×10⁻⁹ Nを使うと、$$0.5q_0=2\times10^{-9}\;\Rightarrow\;q_0=4\times10^{-9}\;[\mathrm{C}]$$となり、（b）は(3)です。

答え：(a)-(1)、(b)-(3)（q₀＝4×10⁻⁹ C）

まとめ

(a) FC	kqq0/36
(a) FD	2kqq0/9
(a) 比	FC/FD＝1/8 → (1)
(b) 点電荷の合成電界	1 N/C（A→B）
(b) 外部電界	0.5 N/C（B→A）
(b) q0	4×10−9 C → (3)

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