静電界42【電験3種理論】平行板コンデンサの静電容量・電界・静電エネルギー・静電力を求める！平成27年 A問題2 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成27年度 A問題2 平行板コンデンサ総合問題！容量・電界・静電力を一気に！

今回は平成27年度理論科目 A問題2を解説します。真空中で面積A・間隔lの平行板コンデンサに電荷Qを充電し、電源を外した状態について、（ア）静電容量、（イ）電界、（ウ）静電エネルギー、（エ）極板間に働く力の向きを求める空欄補充問題です。

電源を外した後は電荷Qが一定です。C＝ε₀A/l、E＝Q/(ε₀A)、W＝Q²/(2C)＝Q²l/(2ε₀A)となります。間隔lを広げるには外力の仕事が必要なので、静電力は極板を近づける向き、すなわち引力です。

平成27年度理論科目 A問題2：問題文と選択肢

空欄が4つありますが、単位を確認するだけで5択が2択になります。残る決め手は「引力か斥力か」——エネルギーの増減から読み取れます。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成27年度 A問題2 問題文 — 平成27年度理論科目 A問題2 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成27年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題2

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成27年度 A問題2

　図のように、真空中で2枚の電極を平行に向かい合わせたコンデンサを考える。各電極の面積をA〔m²〕、電極の間隔をl〔m〕とし、端効果を無視すると、静電容量は（ア）〔F〕である。このコンデンサに直流電圧源を接続し、電荷Q〔C〕を充電してから電圧源を外した。このとき、電極間の電界E＝（イ）〔V/m〕によって静電エネルギーW＝（ウ）〔J〕が蓄えられている。この状態で電極間隔を増大させると静電エネルギーも増大することから、二つの電極間には静電力の（エ）が働くことが分かる。ただし、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。

上記の記述中の空白箇所（ア）、（イ）、（ウ）及び（エ）に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（ア）（イ）（ウ）（エ）
(1) ε₀A/l Ql/(ε₀A) Q²l/(ε₀A) 引力
(2) ε₀A/l Q/(ε₀A) Q²l/(2ε₀A) 引力
(3) A/(ε₀l) Ql/(ε₀A) Q²l/(2ε₀A) 斥力
(4) A/(ε₀l) Q/(ε₀A) Q²l/(ε₀A) 斥力
(5) ε₀A/l Q/(ε₀A) Q²l/(2ε₀A) 斥力

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	ε₀A/l	Ql/(ε₀A)	Q²l/(ε₀A)	引力
(2)	ε₀A/l	Q/(ε₀A)	Q²l/(2ε₀A)	引力
(3)	A/(ε₀l)	Ql/(ε₀A)	Q²l/(2ε₀A)	斥力
(4)	A/(ε₀l)	Q/(ε₀A)	Q²l/(ε₀A)	斥力
(5)	ε₀A/l	Q/(ε₀A)	Q²l/(2ε₀A)	斥力

出題のポイント：単位を見るだけで5択が2択になる

空欄が4つある問題ですが、（ア）（イ）の単位を確認するだけで3つの選択肢が消えます。

空欄	求めるもの	正しい単位
（ア）	静電容量	F（ファラド）
（イ）	電界	V/m
（ウ）	静電エネルギー	J（ジュール）
（エ）	力の向き	—（引力か斥力か）

単位が合わない式は、内容以前に候補から外れます。実際に5つの選択肢を調べた結果です。

選択肢	（ア）の単位	（イ）の単位	（ウ）の単位	判定
(1)	F ○	$Ql/(\varepsilon_0A)$ → V ×	J ○	× 電界の欄が電圧
(2)	F ○	V/m ○	J ○	単位OK
(3)	$A/(\varepsilon_0l)$ → m²/F ×	V ×	J ○	× 2か所で不一致
(4)	m²/F ×	V/m ○	J ○	× 容量の欄が容量でない
(5)	F ○	V/m ○	J ○	単位OK

単位だけで(1)(3)(4)が脱落し、残るのは(2)と(5)の2択です。しかもこの2つは（エ）の「引力か斥力か」だけが違います——実質的に2択の問題になりました。

電源を外した平行板コンデンサで電荷Qを一定に保ちながら極板間隔を広げる図 — 電源切離し後はQ一定となり、極板間隔を広げると静電容量は減少し、静電エネルギーは増加します。

問題の解説：電荷一定という条件を使う

電源を外した後（電荷Q一定）

$$C=\frac{\varepsilon_0A}{l},\qquad E=\frac{Q}{\varepsilon_0A},\qquad W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2l}{2\varepsilon_0A}$$

※電源を外したので電荷Qが固定されます。電圧一定の場合とは式が変わります。

STEP1　（ア）静電容量

$$C=\frac{\varepsilon_0A}{l}\;[\mathrm{F}]$$

❶ 平行板の基本式
面積に比例、間隔に反比例

STEP2　（イ）電界

面電荷密度から求めるのが直接的です。

$$\sigma=\frac{Q}{A},\qquad E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0A}\;[\mathrm{V/m}]$$

❷ 電荷密度を誘電率で割る
$l$ が入らない

電界に間隔 $l$ が入らないのが重要です。電荷が一定なら、極板をどれだけ離しても電界は変わりません。電界を決めるのは極板上の電荷密度だからです。

STEP3　（ウ）静電エネルギー

$$W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2}\cdot\frac{l}{\varepsilon_0A}=\frac{Q^2l}{2\varepsilon_0A}\;[\mathrm{J}]$$

❸ 電荷が分かっているので $Q^2/2C$
$l$ に比例

STEP4　（エ）力の向き

問題文が「間隔を増大させると静電エネルギーも増大する」と教えてくれています。ここから力の向きが決まります。

$$W\propto l\;\Rightarrow\;l\;\text{を増やすと}\;W\;\text{が増える}$$

❹ エネルギーが増える

$$\text{エネルギーが増えた}=\text{外力が仕事をした}$$

❺ エネルギー保存
引き離すのに力が要った

$$\Rightarrow\;\text{静電力は極板を近づける向き}=\text{引力}$$

❻ 結論

電荷一定の平行板コンデンサについて静電容量・電界・静電エネルギーの関係を示す図 — Cはlに反比例、Eはlによらず一定、Wはlに比例します。

答え（ア）$\varepsilon_0A/l$、（イ）$Q/(\varepsilon_0A)$、（ウ）$Q^2l/(2\varepsilon_0A)$、（エ）引力　→　選択肢(2)

平行板コンデンサの四つの空欄を計算し選択肢2と引力を導く解説図 — （ア）ε₀A/l、（イ）Q/(ε₀A)、（ウ）Q²l/(2ε₀A)、（エ）引力です。

引力であることを2つの別ルートで確かめる

「エネルギーが増えるから引力」という論法は正しいのですが、直接計算でも確かめられます。

ルート1：エネルギーを距離で微分する

$$F=\frac{dW}{dl}=\frac{d}{dl}\left(\frac{Q^2l}{2\varepsilon_0A}\right)=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0A}$$

❼ 微分すると $l$ が消える
力の大きさは間隔によらない

ルート2：電荷×電界で求める

$$F=\frac12QE=\frac12Q\cdot\frac{Q}{\varepsilon_0A}=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0A}$$

❽ ルート1と一致 ◎
係数 $\frac12$ が付く理由に注意

なぜ $\frac12$ が付くのか——片方の極板が感じるのは相手の極板がつくる電界だけだからです。極板間の電界 $E$ は両方の極板がつくる電界の合計なので、相手が作る分は $E/2$。自分自身の電界からは力を受けません。

2つのルートが同じ答えになることで、計算の正しさが裏づけられます ✓　そして力の大きさが $l$ によらない——極板をどれだけ離しても引力の大きさは同じです（電界が変わらないので当然です）。

電圧一定だったら結論はどう変わるか

本問は電源を外した＝電荷一定でした。電源につないだままなら、各量の振る舞いが変わります。

量	電荷一定（本問）	電圧一定
電界 E	$Q/(\varepsilon_0A)$：$l$ によらず一定	$V/l$：$l$ に反比例して減る
エネルギー W	$Q^2l/(2\varepsilon_0A)$：$l$ に比例して増える	$\frac12CV^2$：Cが減るので減る
極板間の力	引力	引力（向きは同じ）

エネルギーの増減は逆になりますが、力は両方とも引力です。正と負の電荷が引き合うのは条件によらない事実——「エネルギーが減るから斥力」ではありません。

電圧一定でエネルギーが減る理由は、電荷が電源へ戻るからです。外力の仕事と電源への回収が同時に起きるため、エネルギー収支を追うには電源も含めて考える必要があります。「エネルギーの増減だけで力の向きを判定する」論法は、電荷一定のときだけ安全です。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 空欄補充はまず単位でふるいにかける（本問は5択→2択）
② 電源を外した＝電荷一定。$W=Q^2/(2C)$ を使う
③ 電荷一定なら電界は $l$ によらない（$E=Q/(\varepsilon_0A)$）
④ エネルギーが増える＝外力が仕事をした＝引力
⑤ 極板間力は$F=\frac12QE=Q^2/(2\varepsilon_0A)$——$\frac12$ を忘れない

💡 覚え方
「離すのに力が要るなら引力」。エネルギーが増えたということは、外から仕事をしたということ。引き離すのに力が要ったのだから、静電力は引き寄せる向きです。

⚠️ よくある間違い
電界の式に $l$ を入れてしまうのが典型的な誤りです（選択肢(1)(3)の $Ql/(\varepsilon_0A)$）。これは電圧であって電界ではありません——単位を確認すれば防げます。また「エネルギーが増えたから斥力」と考えるのも逆で、外力が仕事をした＝引力に逆らったと読みます。