磁気・電磁力12【電験3種 理論】直線導体と正方形ループ導体の間に働く電磁力を求める！令和5年下期 A問題4 完全解説

今回は令和5年度下期 理論科目 A問題4を解説します。無限長直線導体Aと、距離d離れた1辺aの正方形ループ導体Bに電流を流したとき、Bに加わる電磁力の大きさと向きを求める問題です。

導体Aが作る磁束密度と、導体Bの4辺に働く力を整理します。近い鉛直辺には＋x、遠い鉛直辺には−x方向の力が働き、距離の近い辺の方が大きいため差が＋x方向に残ります。上辺と下辺にも力は働きますが、大きさが等しく向きが逆なので相殺します。

令和5年度下期 理論科目 A問題4：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（磁気・電磁力）】 令和5年度下期 A問題4

　図のように、透磁率μ₀〔H/m〕の真空中に、無限に長い直線状導体Aと1辺a〔m〕の正方形のループ状導体Bが距離d〔m〕を隔てて置かれている。AとBはxz平面上にあり、Aはz軸と平行、Bの各辺はx軸又はz軸と平行である。A、Bには直流電流I_A〔A〕、I_B〔A〕が、それぞれ図示する方向に流れている。このとき、Bに加わる電磁力として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。なお、xyz座標の定義は、破線の枠内の図で示したとおりとする。

(1) 0N つまり電磁力は生じない
(2) μ₀I_AI_Ba²/{2πd(a+d)} 〔N〕の+x方向の力
(3) μ₀I_AI_Ba²/{2πd(a+d)} 〔N〕の−x方向の力
(4) μ₀I_AI_Ba(a+2d)/{2πd(a+d)} 〔N〕の+x方向の力
(5) μ₀I_AI_Ba(a+2d)/{2πd(a+d)} 〔N〕の−x方向の力

出題のポイント：4辺の力をベクトルで整理する

導体Aの電流は−z方向なので、導体Bの位置に作る磁束密度は−y方向です。各辺にdF＝I_B dℓ×B_Aを適用すると、近い鉛直辺には＋x、遠い鉛直辺には−x方向の力が働きます。近い辺の方が大きいため＋x方向の力が残ります。上辺と下辺にも力は働きますが、大きさが等しく向きが逆なので相殺します。

ポイント解説：水平2辺は相殺し、鉛直2辺の差が残る

直線導体Aは距離xの点にH＝I_A/(2πx)、磁束密度B_A＝μ₀I_A/(2πx)を作ります。図の電流方向では導体Bの領域で磁束密度は−y方向です。各辺の力はdF＝I_Bdℓ×B_Aで判断します。

近い辺（距離d）は電流がAと逆向きで反発、遠い辺（距離d+a）は電流がAと同じ向きで引力。近い辺の方が力が大きく、その差が合力になります。

問題の解説：距離dとd＋aの力を差し引く

STEP1　各縦辺に働く力を書く

磁束密度と電流が直交する長さaの部分ではF＝BI_Baです。したがって、$$F_{\rm near}=\frac{\mu_0 I_A I_B a}{2\pi d}\quad(+x),\qquad F_{\rm far}=\frac{\mu_0 I_A I_B a}{2\pi(d+a)}\quad(-x)$$です。d＜d＋aなのでF_near＞F_farです。

STEP2　合力を求める

上辺と下辺は同じ範囲d≦x≦d＋aにあり、力の大きさが等しく方向が−zと＋zなので相殺します。したがって合力には鉛直2辺の差だけが残り、$$F=\frac{\mu_0 I_A I_B a}{2\pi}\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+a}\right)=\frac{\mu_0 I_A I_B a^2}{2\pi d(d+a)}$$となります。

STEP3　向きと答え

合力の係数は正で、近い辺に働く力の向きに一致するため＋x方向です。大きさと向きの両方が一致するのは(2)です。

答え：(2)（μ₀I_AI_Ba²/{2πd(a+d)} の+x方向）

まとめ

近い辺(距離d)	反発 +x
遠い辺(距離d+a)	引力 −x
合力	μ0IAIBa2/{2πd(a+d)}
向き／答	+x、答(2)

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