磁気・電磁力30【電験3種理論】和動・差動接続の合成インダクタンスから自己・相互インダクタンスを求める！平成29年 A問題3 完全解説

2026年7月12日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（磁気・電磁力）平成29年度 A問題3 つなぎ方を変えるとLが変わる！相互インダクタンスは？

今回は平成29年度理論科目 A問題3を解説します。環状鉄心の2つのコイル（自己インダクタンスはともにL）を図1・図2の2通りに接続したときの合成インダクタンス（1.2Hと2.0H）から、自己インダクタンスLと相互インダクタンスMを求める問題です。

2つの同じコイルを直列接続すると、合成インダクタンスは差動接続で2L−2M、和動接続で2L＋2Mです。M＞0なので差動の合成値は和動より小さく、1.2 Hが差動、2.0 Hが和動に対応します。

平成29年度理論科目 A問題3：問題文と選択肢

まずは、平成29年度に実際に出題された問題文と選択肢を確認しましょう。

電験3種理論科目磁気・電磁力平成29年度 A問題3 問題文 — 平成29年度理論科目 A問題3 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成29年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題3

電験3種理論科目【電磁気（磁気・電磁力）】平成29年度 A問題3

　環状鉄心に、コイル1及びコイル2が巻かれている。二つのコイルを図1のように接続したとき、端子A-B間の合成インダクタンスの値は1.2Hであった。次に、図2のように接続したとき、端子C-D間の合成インダクタンスの値は2.0Hであった。このことから、コイル1の自己インダクタンスLの値〔H〕、コイル1及びコイル2の相互インダクタンスMの値〔H〕の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、コイル1及びコイル2の自己インダクタンスはともにL〔H〕、その巻数をNとし、また、鉄心は等断面、等質であるとする。

コイル1の自己インダクタンスLの値〔H〕と、相互インダクタンスMの値〔H〕の組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

自己インダクタンスL 相互インダクタンスM
(1) 0.4 0.2
(2) 0.8 0.2
(3) 0.8 0.4
(4) 1.6 0.2
(5) 1.6 0.4

	自己インダクタンスL	相互インダクタンスM
(1)	0.4	0.2
(2)	0.8	0.2
(3)	0.8	0.4
(4)	1.6	0.2
(5)	1.6	0.4

出題のポイント：2つの合成値のうち「大きいほうが和動」

接続図を読むまでもなく、大小関係だけで和動・差動が決まります。$M>0$ なので、$2L+2M$ のほうが必ず大きい——この一言で図1が差動、図2が和動と分かります。

2つのコイルを直列にしたときの合成インダクタンス

$$L_{\text{和動}}=L_1+L_2+2M=2L+2M$$$$L_{\text{差動}}=L_1+L_2-2M=2L-2M$$

※$2M$ であって $M$ ではありません。コイル1がコイル2に及ぼす分と、その逆の分で2回ぶん効くからです。

2コイルの差動接続と和動接続の合成インダクタンスを比較する図 — 差動2L−2M＝1.2 H、和動2L＋2M＝2.0 Hの2式を連立します。

解説：連立方程式を辺々足し引きする

$$2L-2M=1.2\quad\cdots\text{①（差動＝小さいほう）}$$

❶ 図1

$$2L+2M=2.0\quad\cdots\text{②（和動＝大きいほう）}$$

❷ 図2

$$\text{①}+\text{②}:\;4L=3.2\;\Rightarrow\;L=0.8\;\mathrm{H}$$

❸ 足すと $M$ が消える

$$\text{②}-\text{①}:\;4M=0.8\;\Rightarrow\;M=0.2\;\mathrm{H}$$

❹ 引くと $L$ が消える

足し算と引き算だけで両方が求まります。連立方程式を解く必要すらありません。

検算：$2\times0.8+2\times0.2=2.0$ ✓、$2\times0.8-2\times0.2=1.2$ ✓

和動と差動の2式を加減して自己インダクタンスLと相互インダクタンスMを求める図 — 2式を加えるとL＝0.8 H、和動式から差動式を引くとM＝0.2 Hです。

答え$L=0.8\;\mathrm{H}$、$M=0.2\;\mathrm{H}$　→　選択肢(2)

平成29年度理論問3の連立計算と代入検算および正答2を示す解答図 — L＝0.8 H、M＝0.2 Hを代入すると1.2 Hと2.0 Hの両方に一致し、公式正答は(2)です。

和動・差動の見分け方：図から読むとき

本問は大小関係で決まりますが、図から判断する方法も知っておくべきです。

	和動接続	差動接続
磁束の関係	互いに助け合う（同じ向き）	互いに打ち消し合う（逆向き）
合成インダクタンス	$2L+2M$（大きい）	$2L-2M$（小さい）
ドット記号	電流が両方ともドット側から入る	片方だけドット側から入る
巻き方	同じ向きに巻いて直列	片方を逆向きに巻いて直列

環状鉄心の場合は、電流を流したときに鉄心内の磁束が同じ向きに回るかどうかで判断します。両方の巻線が同じ向きに磁束を作れば和動です。

💡 覚え方
「和動＝仲間、差動＝けんか」。仲間なら足し合わさって大きくなり、けんかすれば打ち消し合って小さくなる——値の大小と名前が一致しているので覚えやすいはずです。

誤答の正体：$2M$ を $M$ と書いてしまう

誤り方	立てる式	結果	選択肢
$2M$ を $M$ とする	$2L\pm M$	$L=0.8,\;M=0.4$	(3)
$L$ を1つぶんと数える	$L\pm2M$	$L=1.6,\;M=0.2$	(4)
両方を間違える	$L\pm M$	$L=1.6,\;M=0.4$	(5)
$4L$ を $8L$ と割る	—	$L=0.4,\;M=0.2$	(1)
正しい計算	$2L\pm2M$	$L=0.8,\;M=0.2$	(2) ◎

選択肢は $L$ が 0.4／0.8／1.6、$M$ が 0.2／0.4 の組み合わせになっています。係数を1か所でも間違えると、必ずどこかの誤答に着地する設計です。

⚠️ よくある間違い
「コイルが2つだから $L_1+L_2=2L$」までは正しいのに、$M$ を $2M$ にし忘れるのが最頻出のミスです。相互インダクタンスは「1→2」と「2→1」の2方向で効く——だから2倍だと理解しておいてください。

深掘り：結合係数で検算する

相互インダクタンスには上限があります。結合係数 $k$ を計算すれば、答えが物理的にあり得るかを確かめられます。

結合係数

$$k=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}\qquad(0\le k\le1)$$

※$k=1$ は完全結合（漏れ磁束ゼロ）、$k=0$ は無結合です。$k>1$ になったら計算ミスです。

$$k=\frac{M}{\sqrt{L\cdot L}}=\frac{M}{L}=\frac{0.2}{0.8}=0.25$$

本問の結合係数
0と1の間に入っている ◎

もし誤って $M=0.4,\;L=0.4$ のような答えを出すと $k=1.0$、$M>L$ なら $k>1$ となり、物理的にあり得ないと分かります。

変圧器のように鉄心を共有するコイルでは $k$ は1に近い値（0.95以上）になります。本問の0.25は結合が弱めですが、問題として矛盾はありません。

この検算は30秒でできます。$M$ が $L$ を超えていないかだけでも見ておくと、係数の取り違えを防げます。

⏱️ 本番での進め方
❶ 大小で和動・差動を決める。図を読まなくても、大きいほうが和動。
❷ 辺々足す・引く。連立方程式を解く必要はない。
❸ $2M$ の2を忘れない。相互作用は双方向で2回ぶん効く。
❹ $k=M/L\le1$ で検算。$M$ が $L$ より大きければ計算ミス。

この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。

深掘り：この問題自体が「相互インダクタンスの測定法」

本問の手順は、実際に $M$ を測る方法そのものです。$M$ は直接測れないので、和動と差動の2回の測定から求めます。

$$M=\frac{L_{\text{和動}}-L_{\text{差動}}}{4}$$

測定式
2回の測定値の差を4で割るだけ

本問なら $(2.0-1.2)/4=0.2\;\mathrm{H}$。接続を入れ替えて2回測る——それだけで相互インダクタンスが分かります。

この方法が使えるのは、$2M$ の符号だけが変わるからです。自己インダクタンスの部分 $2L$ は接続を変えても同じなので、差を取ると消えてくれます。

なぜ相互インダクタンスが生じるのか

コイル1に電流を流すと磁束ができ、その一部（または全部）がコイル2を貫きます。環状鉄心なら、磁束はほぼ全部が鉄心の中を回るので、コイル2をしっかり貫きます。

相互インダクタンスの定義

$$M=\frac{N_2\varPhi_{12}}{I_1}=\frac{N_1\varPhi_{21}}{I_2}$$

※「1→2」と「2→1」で同じ値になるのが相互インダクタンスの性質です。だから直列接続では2回ぶん（$2M$）効きます。

結合の状態	結合係数 $k$	例
完全結合	$k=1$	理想変圧器（漏れ磁束ゼロ）
密結合	$k\approx0.95\sim0.99$	実際の変圧器（閉じた鉄心）
疎結合	$k=0.1\sim0.5$	空心コイル、離れて置いたコイル
無結合	$k=0$	直交配置（磁束が鎖交しない）