静電界67【電験3種 理論】誘電体を挿入した平行板コンデンサ内の等電位線の分布を選ぶ！平成18年 A問題2 完全解説

今回は平成18年度 理論科目 A問題2を解説します。空気（比誘電率1）と固体誘電体（比誘電率6）からなる複合平行平板コンデンサで、下部電極を接地し上部電極に電圧を加えたときの等電位線の分布を表す断面図を選ぶ問題です。

空気と固体誘電体の境界に自由表面電荷がないため、法線方向の電束密度Dは連続です。E＝D/εより、空気側の電界は比誘電率6の固体誘電体側の6倍になります。同じ電位差ΔVごとの等電位線間隔はΔs＝ΔV/Eなので、空気側は密、固体誘電体側は疎になります。

平成18年度 理論科目 A問題2：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成18年度 A問題2

　図1に示すような、空気中における固体誘電体を含む複合誘電体平行平板電極がある。この下部電極を接地し、上部電極に電圧を加えたときの電極間の等電位線の分布を示す断面図として、正しいのは次のうちどれか。ただし、固体誘電体の比誘電率をε_r＝6とし、誘電体の導電性及び電極と誘電体の端効果は無視できるものとする。参考までに、固体誘電体を取り除いた空気中平行平板電極の場合の等電位線の分布を図2に示す。

電極間の等電位線の分布を示す断面図として、正しいものを図中の(1)〜(5)のうちから一つ選べ（下側を接地電極とする）。

出題のポイント：境界でDは連続、等電位線間隔は1/E

空気と固体誘電体の境界に自由表面電荷がないため、法線方向の電束密度Dは連続です。E＝D/εより、比誘電率1の空気側の電界は比誘電率6の固体側の6倍になります。同じ電位差ΔVごとの等電位線間隔はΔs＝ΔV/Eなので、空気側の間隔は固体側の1/6です。境界で電位は連続し、電位勾配だけが変化します。

ポイント解説：E_air＝6E_solidで電位は境界でも連続

空気層と固体誘電体層は電界方向に積層されています。境界に自由表面電荷がないので、電束密度の法線成分は連続し、D_air＝D_solid＝Dです。したがって、$$E_{air}=\frac{D}{\varepsilon_0},\qquad E_{solid}=\frac{D}{6\varepsilon_0}=\frac{E_{air}}{6}$$となります。

電界は電位の空間変化率で、一次元的には|E|＝|dV/ds|です。同じ電位差ΔVごとに等電位線を描くと、線間隔はΔs＝ΔV/Eとなります。よって、電界が6倍強い空気側の間隔は固体側の1/6です。境界で電位そのものは連続し、電位分布の傾きだけが変わります。

問題の解説：空気側で密、固体側で疎となる選択肢(3)

STEP1　空気中と誘電体中の電界を比べる

境界に自由表面電荷がないため、法線方向についてD_air＝D_solidです。空気の誘電率はε₀、固体誘電体は6ε₀なので、$$E_{air}=\frac{D}{\varepsilon_0},\qquad E_{solid}=\frac{D}{6\varepsilon_0}=\frac{E_{air}}{6}$$となります。したがって電界比はE_air:E_solid＝6:1です。

STEP2　等電位線の間隔を考える

隣り合う等電位線の電位差を同じΔVとすると、線間隔はΔs＝ΔV/Eです。したがって、$$\Delta s_{air}:\Delta s_{solid}=E_{solid}:E_{air}=1:6$$となります。空気側では等電位線が密、固体誘電体側では疎です。図のように両層が等厚なら、電圧降下もV_air:V_solid＝6:1になります。

STEP3　図を選ぶ

上側の空気層では等電位線が狭い間隔で並び、下側の固体誘電体層では広い間隔で並びます。等電位線は電極および水平な誘電体境界と平行で、境界で電位が飛ぶことはありません。この条件を満たす平成18年度版の図は(3)です。

答え：(3)（空気側で密、固体誘電体側で疎。境界で電位は連続）

まとめ

境界条件	自由表面電荷なし → Dair＝Dsolid
電界比	Eair:Esolid＝6:1
等電位線間隔	Δsair:Δssolid＝1:6
電位	境界で連続、傾きだけが変化
正しい分布	空気側＝密、固体側＝疎
答え	平成18年度版 (3)

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