静電界60【電験3種 理論】空気・誘電体・空気の3層コンデンサの電界分布と印加電圧！平成21年 B問題17 完全解説

今回は平成21年度 理論科目 B問題17を解説します。空気（4mm）・固体誘電体ε_r2＝4（4mm）・空気（2mm）の3層からなる平行平板電極について、（a）電界の強さの分布、（b）下部空気の電界が2kV/mmに達するときの電圧を求める問題です。

誘電体の界面に自由表面電荷がなく、端効果を無視できるため、電束密度Dの法線成分は三つの層で共通です。E＝D/εより、比誘電率1の二つの空気層では同じ電界となり、比誘電率4の固体誘電体では空気の1/4になります。（b）は各層の電界と厚さの積を足して印加電圧を求めます。

平成21年度 理論科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 理論科目 【電磁気（静電界）】 平成21年度 B問題17

　図に示すように、面積が十分に広い平行平板電極（電極間距離10〔mm〕）が空気（比誘電率ε_r1＝1とする）と、電極と同形同面積の厚さ4〔mm〕で比誘電率ε_r2＝4の固体誘電体で構成されている。下部電極を接地し、上部電極に直流電圧V〔kV〕を加えた。次の(a)及び(b)に答えよ。ただし、固体誘電体の導電性及び電極と固体誘電体の端効果は無視できるものとする。

（a）電極間の電界の強さE〔kV/mm〕のおおよその分布を示す図として、正しいものを図中の(1)〜(5)のうちから一つ選べ（上部電極から下部電極に向かう距離をx〔mm〕とする）。

（b）上部電極に加える電圧V〔kV〕を徐々に増加し、下部電極側の空気中の電界の強さが2〔kV/mm〕に達したときの電圧V〔kV〕の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）11　（2）14　（3）20　（4）44　（5）56

出題のポイント：D一定からEの段差と全電圧を読む

誘電体の界面に自由表面電荷がなく、端効果を無視できるため、電束密度Dの法線成分は三つの層で共通です。E＝D/εより、比誘電率1の二つの空気層では同じ電界となり、比誘電率4の固体誘電体では空気の1/4になります。電圧は各層の電界と厚さの積を合計して求めます。

ポイント解説：界面でDは連続し、Eは比誘電率に反比例

誘電体界面に自由表面電荷がないので、境界条件D_1n−D_2n＝σ_f＝0より、電束密度Dの法線成分は全層で連続です。空気ではε＝ε₀、固体ではε＝4ε₀なので、E＝D/εからE_固＝E_空/4となります。

上部空気層と下部空気層は厚さが異なりますが、材質が同じでDも共通なので電界の強さは等しくなります。厚さの違いが影響するのは電界ではなく、V_i＝E_id_iで求める各層の電圧降下です。

問題の解説：電界分布(5)と電圧14 kVを求める

STEP1　（a）電界の分布を選ぶ

x＝0～4mmは上部空気層、x＝4～8mmは比誘電率4の固体誘電体、x＝8～10mmは下部空気層です。Dが共通なので、正規化した電界E/E_空は順に1、1/4、1となります。二つの空気層が同じ高さで、中央だけ1/4に下がる分布は(5)です。

STEP2　（b）各層の電界を求める

下部電極側の空気中でE_空＝2kV/mmに達したとき、D＝ε₀E_空です。同じDと誘電率をもつ上部空気層も2kV/mmとなり、固体誘電体では、$$E_{\mathrm{固}}=\frac{D}{4\varepsilon_0}=\frac{E_{\mathrm{空}}}{4}=0.5\;[\mathrm{kV/mm}]$$となります。

STEP3　（b）電圧を計算する

各層の電圧降下は、上部空気層が2×4＝8kV、固体誘電体が0.5×4＝2kV、下部空気層が2×2＝4kVです。したがって、$$V=8+2+4=14\;[\mathrm{kV}]$$となり、（b）は(2)です。これは$$V=E_{\mathrm{空}}(4+2)+E_{\mathrm{固}}\times4$$としてまとめて計算しても同じです。

答え：（a）(5)、（b）(2)（V＝14kV）

まとめ

Dの関係	界面に自由表面電荷がないため全層で共通
（a）電界分布	空気：1、固体：1/4、空気：1 → (5)
上部空気層	2kV/mm×4mm＝8kV
固体誘電体	0.5kV/mm×4mm＝2kV
下部空気層	2kV/mm×2mm＝4kV
（b）印加電圧	8＋2＋4＝14kV → (2)

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