静電界54【電験3種理論】正負2点電荷（+4Q・−Q）で電位0になる点の位置を求める！平成22年 A問題1 完全解説

2026年7月11日2026年8月1日

電験3種理論科目電磁気（静電界）平成22年度 A問題1 +4Qと−Qの間で電位が0！その位置はどこ？

今回は平成22年度理論科目 A問題1を解説します。点Aに+4Q、点Bに−Qの点電荷があるとき、2点を通る直線上で電位が0Vになる点Pが、a領域（Aより左）・ab領域（A-B間）・b領域（Bより右）のどこに、どの位置にあるかを求める問題です。

電位はスカラー量なので、+4Qによる正の電位と−Qによる負の電位を符号付きで加えます。電位0の条件からr_A＝4r_Bとなり、各領域で絶対値を外して方程式を解くと、ab領域にx＝4l/5、b領域にx＝4l/3、すなわちBより右l/3の2点が求まります。a領域には有限の零電位点はありません。なお、V＝0はE＝0を意味しません。

平成22年度理論科目 A問題1：問題文と選択肢

絶対値を含む方程式を領域ごとに解きます。本当の急所は「解が仮定した領域内にあるか」の確認——ここを飛ばすと誤った答えを拾います。まずは問題文を確認しましょう。

電験3種理論科目静電界平成22年度 A問題1 問題文 — 平成22年度理論科目 A問題1 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成22年度第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題1

電験3種理論科目【電磁気（静電界）】平成22年度 A問題1

　真空中において、図のように点Aに正電荷+4Q〔C〕、点Bに負電荷−Q〔C〕の点電荷が配置されている。この2点を通る直線上で電位が0〔V〕になる点を点Pとする。点Pの位置を示すものとして、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。なお、無限遠の点は除く。ただし、点Aと点B間の距離をl〔m〕とする。また、点Aより左側の領域をa領域、点Aと点Bの間の領域をab領域、点Bより右側の領域をb領域とし、真空の誘電率をε₀〔F/m〕とする。

点Pの位置を示すものとして、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか（点A-B間の距離をl〔m〕とする）。

a領域 ab領域 b領域
(1) 点Aより左 l/3 の点この領域には存在しない点Bより右 l の点
(2) この領域には存在しない点Aより右 4l/5 の点点Bより右 l/3 の点
(3) この領域には存在しないこの領域には存在しない点Bより右 l の点
(4) 点Aより左 l/3 の点点Aより右 4l/5 の点点Bより右 l/3 の点
(5) この領域には存在しない点Aより右 4l/5 の点点Bより右 l の点

	a領域	ab領域	b領域
(1)	点Aより左 l/3 の点	この領域には存在しない	点Bより右 l の点
(2)	この領域には存在しない	点Aより右 4l/5 の点	点Bより右 l/3 の点
(3)	この領域には存在しない	この領域には存在しない	点Bより右 l の点
(4)	点Aより左 l/3 の点	点Aより右 4l/5 の点	点Bより右 l/3 の点
(5)	この領域には存在しない	点Aより右 4l/5 の点	点Bより右 l の点

出題のポイント：解いたあと「領域内にあるか」を必ず確認する

直線上で電位が0になる点を探す問題です。絶対値を含む方程式になるので、領域ごとに場合分けして解きます。

そして本問の本当の急所は、解いた後の確認作業にあります。得られた解が、仮定した領域の中にあるか——これを見ないと誤った答えを拾います。

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{4Q}{r_A}-\frac{Q}{r_B}\right)=0$$

❶ 電位はスカラーなので符号付きで足す
負電荷の項はマイナス

$$\frac{4}{r_A}=\frac{1}{r_B}\;\Rightarrow\;r_A=4r_B$$

❷ 係数とQが消える
距離の比だけが残る

$r_A=4r_B$——「$+4Q$ から4倍遠く、$-Q$ から1倍の距離」という条件です。電荷が4倍なら、それを打ち消すには4倍離れる必要があります。

正電荷プラス4Qと負電荷マイナスQの間および右側にある二つの零電位点 — 零電位点はAから右へ4l/5と、Bから右へl/3の2点です。

問題の解説：3つの領域で絶対値を外す

点Aを $x=0$、点Bを $x=l$ として、$|x|=4|x-l|$ を解きます。

領域ごとの絶対値の外し方

$$|x|=\begin{cases}x&(x\ge0)\\-x&(x<0)\end{cases},\qquad |x-l|=\begin{cases}x-l&(x\ge l)\\l-x&(x<l)\end{cases}$$

※領域を仮定して符号を決め、解が本当にその領域にあるかを最後に確認します。

領域	仮定	方程式	解	領域内か	判定
a領域	$x<0$	$-x=4(l-x)$	$x=4l/3$	$4l/3>0$ で条件を満たさない	解なし
ab領域	$0<x<l$	$x=4(l-x)$	$x=4l/5$	$0<4l/5<l$ ◎	有効
b領域	$x>l$	$x=4(x-l)$	$x=4l/3$	$4l/3>l$ ◎	有効

a領域とb領域で同じ $x=4l/3$ が出るのが面白いところです。a領域では仮定（$x<0$）に反するので棄却、b領域では仮定（$x>l$）を満たすので採用——同じ数値でも領域によって扱いが変わります。

a領域の $x=4l/3$ は計算ミスではありません。「$x<0$ と仮定したのに正の解が出た＝その仮定では解が存在しない」という正しい結論です。この理由を説明できることが大事です。

b領域の位置をBからの距離に直す

$$x-l=\frac{4l}{3}-l=\frac{l}{3}$$

❸ Bからの距離
Bより右 $l/3$

三つの領域で絶対値方程式を解き零電位点の有効性を判定する表 — 方程式の解が仮定した領域条件を満たすかまで確認します。

答えa領域：存在しない／ab領域：Aより右 $4l/5$／b領域：Bより右 $l/3$　→　選択肢(2)

検算：$x=0.8l$ では $4/0.8-1/0.2=5-5=0$ ✓　$x=4l/3$ では $4/(4/3)-1/(1/3)=3-3=0$ ✓——どちらも正確に0になります。

二つの零電位点で正電荷と負電荷の電位が打ち消し合う計算図 — ab領域ではx＝4l/5、b領域ではx＝4l/3となり、選択肢(2)です。

なぜa領域には零電位点がないのか

計算せずに見抜く方法もあります。a領域（Aより左）では、常にAのほうが近いからです。

$$x<0\;\Rightarrow\;r_A=|x|<|x-l|=r_B$$

❹ Aのほうが必ず近い
$r_A<r_B$

$$\text{必要な条件は}\;r_A=4r_B>r_B$$

❺ しかし条件は逆
矛盾

「大きい電荷 $+4Q$ から遠ざかる必要があるのに、a領域ではむしろ近い」——だから解が存在しません。b領域では逆に $-Q$ のほうが近いので、$+4Q$ から十分離れた位置に零電位点ができます。

この見通しは他の配置でも使えます。零電位点は「絶対値の小さい電荷の側」に寄る——ab領域の $4l/5$ も b領域の $l/3$ も、どちらもB側（$-Q$ 側）に近い位置です。

V＝0 と E＝0 は別物

電位が0の点で電界も0とは限りません。混同しやすいので確認しておきます。

	電位 V	電界 E
性質	スカラー（符号付きで足すだけ）	ベクトル（向きを考えて合成）
点電荷からの寄与	$kQ/r$（$1/r$）	$kQ/r^2$（$1/r^2$）
本問での零点	2か所（$4l/5$ と $4l/3$）	別の位置にある

電界が0になる点は、$4Q/r_A^2=Q/r_B^2$ すなわち $r_A=2r_B$ から求まります——電位の $r_A=4r_B$ とは違う条件です。

2乗か1乗かの違いが、比を4から2へ変えています。「電位は1乗、電界は2乗」という基本を、この対比で確認できます。

本番で使える時間短縮テクニック

⏱️ 本番での進め方
① 電位はスカラー——符号付きで足すだけ。ベクトル合成は不要
② $V=0$ の条件は距離の比 $r_A:r_B=|q_A|:|q_B|$
③ 領域を仮定して絶対値を外し、解が領域内にあるか必ず確認
④ 零電位点は絶対値の小さい電荷の側に寄る
⑤ V＝0 と E＝0 は別の点（電位は1乗、電界は2乗の条件）

💡 覚え方
「電位ゼロは距離の比、電荷の比と同じ」。$+4Q$ と $-Q$ なら $r_A:r_B=4:1$。大きい電荷から4倍離れる——だから小さい電荷の近くに解が集まります。

⚠️ よくある間違い
領域の確認を飛ばすのが最頻出のミスです。a領域の式から $x=4l/3$ が出ても、$x<0$ という仮定に反するので不適。またV＝0とE＝0を混同しないでください。電界が0になる点は $r_A=2r_B$ の位置で、別の場所です。